Halbstetigkeit

In der Mathematik heißt eine reellwertige Funktion oberhalbstetig (oder halbstetig von oben) in einem Punkt , wenn die Funktionswerte für Argumente nahe bei von ausgehend nicht nach oben springen. Wenn die Funktionswerte nicht nach unten springen, dann heißt die Funktion unterhalbstetig in (oder halbstetig von unten).

Definition

Oberhalbstetige Funktion (der vollausgefüllte blaue Punkt gibt $(x_{0},f(x_{0}))$ an)

Sei ein topologischer Raum, in und $f\colon X\to \mathbb{R}$ eine reellwertige Funktion. heißt in $x_{0}$ oberhalbstetig, wenn für jedes $\varepsilon >0$ eine Umgebung von $x_{0}$ existiert, so dass $f(y)<f(x_{0})+\varepsilon$ für alle in gilt. Ist ein Raum, in dem jede folgenstetige Funktion auch stetig ist, etwa ein metrischer Raum, so ist genau dann oberhalbstetig in , falls

$\limsup _{{y\to x}}f(y)\leq f(x)$ .

heißt oberhalbstetig auf einer Teilmenge von , wenn sie in jedem Punkt $x_{0}\in M$ oberhalbstetig ist. Ist dabei der ganze topologische Raum , so heißt oberhalbstetig.

Unterhalbstetige Funktion (der vollausgefüllte blaue Punkt gibt $(x_{0},f(x_{0}))$ an)

Analog heißt im Punkt $x_{0}$ unterhalbstetig, wenn für jedes $\varepsilon >0$ eine Umgebung von $x_{0}$ existiert, so dass $f(y)>f(x_{0})-\varepsilon$ für alle in . Ist ein Raum, in dem jede folgenstetige Funktion auch stetig ist, etwa ein metrischer Raum, so ist genau dann unterhalbstetig in , falls

$\liminf _{{y\to x}}f(y)\geq f(x)$ .

heißt unterhalbstetig auf einer Teilmenge von , wenn sie in jedem Punkt $x_{0}\in M$ unterhalbstetig ist. Ist dabei der ganze topologische Raum , so heißt unterhalbstetig.

Zusammenhang der beiden Halbstetigkeitsbegriffe: Die Funktion ist genau dann oberhalbstetig in $x_{0}\in X$ bzw. auf $M\subseteq X$ wenn unterhalbstetig in $x_{0}\in X$ bzw. auf $M\subseteq X$ ist.

Beispiele

Die Funktion mit f(x)=0 für x<0 und f(x)=1 für $x\geq 0$ ist oberhalbstetig, aber nicht unterhalbstetig in x=0 . Denn entfernt man sich mit den Argumenten in negative Richtung von der 0, dann springen die Funktionswerte plötzlich von 1 auf 0, aber sie springen nicht nach oben, egal wohin man sich entfernt.

Die Gaußklammer ist oberhalbstetig, denn sie verhält sich an jeder ganzen Zahl so wie die eben beschriebene Funktion .

Eigenschaften

Eine Funktion ist stetig in genau dann, wenn sie dort halbstetig von oben und von unten ist.

Sind und zwei in oberhalbstetige Funktionen, dann ist auch ihre Summe f+g in oberhalbstetig. Sind beide Funktionen nichtnegativ in einer Umgebung von , dann ist auch das Produkt in oberhalbstetig. Die Multiplikation einer positiven oberhalbstetigen Funktion mit einer negativen reellen Zahl ergibt eine unterhalbstetige Funktion.

Ist eine kompakte Menge (zum Beispiel ein abgeschlossenes Intervall [a, b] mit reellen Zahlen a<b ) und $f\colon D\to \mathbb {R}$ oberhalbstetig, dann hat ein Maximum auf . Analoges gilt für eine unterhalbstetige Funktion und ihr Minimum.

Sind die Funktionen $f_{n}\colon X\to \mathbb {R}$ (für alle $n\in \mathbb{N}$ ) unterhalbstetig und ihr Supremum

$f(x):=\sup\{f_{n}(x):n\in \mathbb {N} \}$

kleiner als $\infty$ für jedes in , dann ist unterhalbstetig. Selbst wenn alle $f_{n}$ stetig sind, muss aber nicht stetig sein.

Alternative Beschreibung

Durch eine geeignete Wahl einer Topologie auf $\mathbb {R}$ können oberhalbstetige und unterhalbstetige Funktionen als stetige Funktionen aufgefasst werden, und somit lassen sich einige der Eigenschaften direkt aus allgemeinen Aussagen aus der Topologie herleiten.

$O_{{<}}:={\Big \{}\left]-\infty ,a\right[;a\in \mathbb{R} \cup \{+\infty \}{\Big \}}\cup \{\varnothing \}$ ist eine Topologie auf $\mathbb {R}$ . Sei (X,O) ein topologischer Raum. Eine Funktion $f\colon X\to\R$ ist genau dann oberhalbstetig, wenn als Abbildung $(X,O)\to (\mathbb{R} ,O_{{<}})$ stetig ist.

Für unterhalbstetige Funktionen verwendet man analog die Topologie $O_{{>}}:={\Big \{}\left]a,\infty \right[;a\in \mathbb{R} \cup \{-\infty \}{\Big \}}\cup \{\varnothing \}$ .

Schwach halbstetige Funktionen

Eine Verallgemeinerung der halbstetigen Funktionen sind die schwach halbstetigen Funktionen. Sei ein normierter Raum und $S\subset X$ eine Teilmenge. Eine Funktion oder ein Funktional $f\colon X\supset S\to \mathbb {R}$ heißt

schwach unterhalbstetig auf der Menge , wenn für jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in , die schwach gegen ihren schwachen Grenzwert ${\tilde x}\in S$ konvergiert, gilt, dass

$\liminf _{{n\to \infty }}f(x_{n})\geq f({\tilde x})$ .

schwach oberhalbstetig auf der Menge , wenn für jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in , die schwach gegen ihren schwachen Grenzwert ${\tilde x}\in S$ konvergiert, gilt, dass

$\limsup _{{n\to \infty }}f(x_{n})\leq f({\tilde x})$ .

Beispielsweise sind stetige quasikonvexe Funktionen schwach unterhalbstetig. Äquivalent zur schwachen Unterhalbstetigkeit einer Funktion ist, dass ihr Epigraph eine schwach folgenabgeschlossene Menge ist. Schwach unterhalbstetige Funktionen spielen eine wichtige Rolle in der Optimierung, da sie auf schwach folgenkompakten Mengen immer ein Minimum annehmen.

Siehe auch

Stetigkeit

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de