Kettenlinie (Mathematik)

Eine durchhängende Kette bildet eine Kettenlinie oder Katenoide.

Eine Kettenlinie (auch Seilkurve, Katenoide oder Kettenkurve, englisch catenary oder funicular curve) ist eine mathematische Kurve, die den Durchhang einer an ihren Enden aufgehängten Kette unter dem Einfluss der Schwerkraft beschreibt. Es handelt sich um eine elementare mathematische Funktion, den Cosinus hyperbolicus, kurz cosh.

Mathematische Beschreibung

Die Funktion y = a cosh(x/a) für unterschiedliche Werte von a

Die Berechnung der Kettenlinie ist ein klassisches Problem der Variationsrechnung. Man denkt sich ein Seil von gewisser Masse und Länge, das an seinen Enden aufgehängt ist. Die Seilkurve ist das Ergebnis der kleinst möglichen potentiellen Energie des Seils. Das versucht man rechnerisch nachzuvollziehen.

Dazu benötigt man den mathematischen Ausdruck für die potentielle Energie. Er ist eine Verfeinerung des bekannten „Gewicht mal Höhe“ mgh. Die Verfeinerung besteht darin, dass die Energie für „alle Teile“ des Seils getrennt ausgewertet und zum Schluss aufsummiert wird. Das ist notwendig, weil die Teile des Seils sich auf unterschiedlichen Höhen befinden. Die gedankliche Zerlegung des Seils in immer kleinere Teile macht aus der Summe ein Integral. Die Höhe h aus mgh wird durch die gesuchte Funktion y(x) ersetzt, die Masse m durch die Masse \mathrm dm des Seilstücks über dem Intervall [x,x+\mathrm dx]; nach Pythagoras ist dies:

\mathrm dm = \mu \sqrt{(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2} = \mu \sqrt{ 1 + \left( \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} \right)^2} \, \mathrm dx = \mu \sqrt{1+y'^2} \, \mathrm dx

wobei \mu die Masse je Meter ist. Wenn das Seil an den Stellen x_{1}, x_{2} aufgehängt ist, ergibt sich demnach die Energie („Gewicht mal Höhe“) als

E = \mu g \, \int_{x_1}^{x_2} \mathrm dx \; y \, \sqrt{1+y'^2}

Eine ähnliche Überlegung führt auf den Ausdruck für die Länge des Seils:

l = \int_{x_1}^{x_2} \mathrm dx \sqrt{1+y'^2}

Die Energie ist zu minimieren, die Länge ist jedoch vorgegeben. Man bringt dies unter einen Hut durch einen Lagrange-Multiplikator \mu g y_0, das heißt, man minimiert nun den Ausdruck

E \, - \, \mu g y_0 \, l = \mu g\, \int_{x_1}^{x_2} \mathrm dx \, \sqrt{1+y'^2} \, (y \, - y_0)

Die Variation ergibt die Differentialgleichung (Euler-Lagrange-Gleichung):

(y-y_0) \, y'' \, - \, y'^2 \, = \, 1

Interessanterweise sind in diesem Schritt sowohl die Massengröße \mu als auch die Schwerebeschleunigung g herausgefallen. Ein schweres Seil nimmt somit dieselbe Form an wie ein leichtes, und auf dem Mond ergibt sich trotz anderer Fallbeschleunigung dieselbe Form wie auf der Erde.

Die Lösungen der Gleichung sind die Funktionen

 y(x) \, = \, a\cdot \cosh\left(\frac{x-x_0}{a}\right)+y_0

Es handelt sich um vergrößerte und verschobene Cosinus-hyperbolicus-Funktionen. a ist der Krümmungsradius im Scheitelpunkt (siehe Abbildung) und zugleich der Vergrößerungsfaktor. x_{0} ist die Verschiebung in x-Richtung, y_{0} die Verschiebung in y-Richtung.

Die konkrete Form, die das Seil letztendlich annimmt, errechnet man, indem man x_{0}, y_{0} und a so anpasst, dass die Kurve durch die Aufhängepunkte geht und die vorgegebene Länge l hat.

Beispiel

Bestimmungsstücke der Kettenlinie

Als Beispiel sei ein zwischen zwei Pfosten (Abstand w) aufgehängtes Seil der Länge l gegeben (siehe Abbildung). Die Pfosten sind gleich hoch und befinden sich bei {\displaystyle x=-{\tfrac {w}{2}}} und {\displaystyle x=+{\tfrac {w}{2}}}, es gilt also x_{0}=0.

Um den Krümmungsradius a zu berechnen, schreiben wir die Seillänge l als Funktion von a:

{\displaystyle l=\int _{-w/2}^{w/2}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x=2a\,\sinh \left({\frac {w}{2a}}\right)}.

Diese Beziehung legt a in Abhängigkeit von w und l eindeutig fest. Da man keinen geschlossenen Ausdruck für a angeben kann, muss der Wert mit einem numerischen Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen approximativ berechnet werden.

Sind jedoch h und l gegeben, können a und w wie folgt geschlossen dargestellt werden.
Wird das Quadrat aus der Gleichung (oben) {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}l=a\cdot \sinh \left({\frac {{\frac {1}{2}}w}{a}}\right)} vom Quadrat aus der (unten erwähnten) Gleichung {\displaystyle \textstyle h+a=a\cdot \cosh \left({\frac {{\frac {1}{2}}w}{a}}\right)} subtrahiert, dann ergibt die mit der Differenz entstehende Gleichung {\displaystyle \textstyle a^{2}\cdot \overbrace {\left(\cosh ^{2}\left({\frac {{\frac {1}{2}}w}{a}}\right)-\sinh ^{2}\left({\frac {{\frac {1}{2}}w}{a}}\right)\right)} ^{1}=(h+a)^{2}-\left({\frac {1}{2}}l\right)^{2}}, woraus w wegen {\displaystyle \cosh ^{2}(\xi )-\sinh ^{2}(\xi )=1} eliminiert und nach {\displaystyle \textstyle a={\frac {1}{2}}h\cdot \left(\left({\frac {{\frac {1}{2}}l}{h}}\right)^{2}-1\right)} umgestellt werden kann.
Einsetzen dieses a in {\displaystyle w=2a\cdot \operatorname {arsinh} \left({\frac {{\frac {1}{2}}l}{a}}\right)} und Umformungen ergeben den gesuchten Ausdruck für den Abstand in geschlossener Form z.B.

{\displaystyle \textstyle w=2h\cdot \left(\left({\frac {{\frac {1}{2}}l}{h}}\right)^{2}-1\right)\cdot \operatorname {artanh} \left({\frac {h}{{\frac {1}{2}}l}}\right)}

oder

{\displaystyle \textstyle w=2h\cdot \left(\left({\frac {l}{2h}}\right)^{2}-1\right)\cdot \operatorname {artanh} \left({\frac {2h}{l}}\right)}.

Zuletzt liest man aus der Abbildung die Bedingung {\displaystyle y({\tfrac {w}{2}})=0} ab, aus der man y_{0} erhält. Des Weiteren gelten die Beziehungen

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {b}{a}}&=\cosh \left({\frac {w}{2a}}\right)\\b&=h+a,\end{aligned}}}

wobei h der „Durchhang“ ist.

Die potentielle Energie dieses Systems beträgt

E = -\frac{\mu g}{2} (l\,b - w\,a).

Genauer ist dies die Energiedifferenz gegenüber dem Fall, dass sich das Seil komplett auf der Höhe der Aufhängepunkte (y=0) befindet.

Symmetrisch aufgehängtes Seil mit Umlenkrolle

Mit Hilfe der Energie kann man die Kraft F in den Aufhängepunkten berechnen. Hierzu stellt man sich vor, dass das Seil in einem Aufhängepunkt über eine Umlenkrolle läuft, die die Kraft in horizontale Richtung umlenkt. Um das Seil wie abgebildet um eine sehr kleine Strecke ds hinauszuziehen, muss man die Energie dE = F ds aufwenden. Diese kann man berechnen und erhält so die Kraft {\displaystyle F={\tfrac {dE}{ds}}}. Zur Berechnung von dE vergleicht man die Energie des ursprünglichen Seils mit der des um ds verkürzten Seiles. Das Ergebnis ist überraschend einfach, nämlich

F = \mu g b = \mu g (h+a) = \frac{m g}{2} \coth\left(\frac{w}{2a}\right)

mit {\displaystyle m=\mu \,l}. Dieselbe Formel kann man auch auf Teilstücke des Seils anwenden. Da die Teilstücke alle denselben Krümmungsradius a haben, aber für kleine Teilstücke (unten im Tal) der Durchhang h vernachlässigbar wird, besteht im Tal des Seiles die Seilspannung \mu g a.

Stellt man die Pfosten nah beisammen, dann dominiert der Durchhang h, der dann recht genau die halbe Seillänge ist. Die Kraft ist dann erwartungsgemäß die halbe Gewichtskraft des Seiles, {\displaystyle {\tfrac {mg}{2}}} (man beachte, dass zwei Aufhängepunkte sich die Last teilen).

Die Formel zeigt auch, wie die Kraft bei zunehmender Seilspannung die halbe Gewichtskraft um den Faktor {\displaystyle \coth({\tfrac {w}{2a}})} übersteigt. Der Faktor ist praktisch 1 für sehr kleine Krümmungsradien a, aber ungefähr {\displaystyle {\tfrac {2a}{w}}} oder auch {\displaystyle {\tfrac {2a}{l}}} für sehr große Krümmungsradien.

Im Alltag beträgt der Faktor etwa 2 bis 4. Im Aufhängepunkt wirkt dann das ganze oder doppelte Gewicht des Seiles.

Beziehungen zu anderen Funktionen

r(x)=cosh(x)-1 (Kettenlinie), g(x)=x2 (Parabel), m(x)=r(x)/g(x), c(x)=g(x)/r(x)

m(0)=1/2, c(0)=2: Der unbestimmte Ausdruck 0/0 ist in diesem Fall 1/2 bzw. 2.

Parabel

Joachim Junge wies 1639 nach, dass die Kettenlinie keine Parabel ist. Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens und Johann I Bernoulli fanden 1690/91 heraus, wie die Kettenkurve zu bilden ist. Die Parabel stellt sich ein bei einer gleichmäßig über die Spannweite x verteilten Streckenlast, z.B. einer Hängebrücke, bei der das Gewicht der Seile gegenüber dem der Fahrbahn vernachlässigt werden kann. Die Abbildung rechts vergleicht den Kurvenverlauf einer Kettenlinie (rot) mit einer Normalparabel (grün).

Katenoid

Die durch Rotation der Kettenlinie um die x-Achse erzeugte Rotationsfläche wird als Katenoid bezeichnet und ist eine Minimalfläche.

Traktrix

Die Kettenlinie ist die Evolute zu der Traktrix (Schleppkurve).

Beispiele

Für a = 100 m und einen Mastabstand w von 200 m (also Spezialfall w/2=a) wird ein 2·117,5 m langes Seil benötigt: l/2=a\cdot\sinh(1). Der Durchhang beträgt 54 m. Für ein Stahlseil mit 100 cm² Querschnitt wiegt eine Seilhälfte 9,2 t. Die entsprechende Gewichtskraft von 9·104 N ist die vertikale Kraft an einer Aufhängung. Die horizontale Kraft an einer Aufhängung beträgt 7,7·104 N.

Beträgt a etwa 20,2 % der gesamten Breite w, so ist der Durchhang y(x=w/2) gleich der Breite w (quadratförmige Gesamtabmessungen). Dieser Fall liegt beispielsweise vor beim Gateway Arch (siehe unten im Abschnitt Architektur), der 630 Fuß breit und ebenso hoch ist. Die exakte Formel

y = -127{,}7 \; \mathrm{ft} \cdot \cosh({x / 127{,}7 \; \mathrm{ft}}) + 757{,}7 \; \mathrm{ft}

mit a = 127,7 Fuß und w/2 = 315 Fuß ist im Inneren des Denkmals ausgestellt.

Anwendungen in der Architektur

Einer der Kettenlinie analoge Stützlinie folgt der scherkräftefreie Bogen:

Fotos

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 23.06. 2021