Evolute
Die Evolute einer ebenen Kurve ist
- die Bahn, auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises bewegt, wenn der zugehörige Punkt die gegebene Kurve durchläuft.
Oder auch:
Evoluten stehen in engem Zusammenhang mit den Evolventen einer gegebenen Kurve, denn es gilt: Eine Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen.
Evolute einer parametrisierten Kurve
Beschreibt eine reguläre Kurve in der euklidischen Ebene, deren Krümmung nirgends 0 ist, und sind der Krümmungskreisradius und die zum Krümmungsmittelpunkt weisende Einheitsnormale, so ist
die Evolute der gegebenen Kurve.
Ist und , so ist
- und
- .
Eigenschaften der Evolute
Um Eigenschaften einer regulären Kurve herzuleiten, ist es vorteilhaft, die Bogenlänge der gegebenen Kurve als Parameter zu verwenden. Denn dann gilt (s. Frenetsche Formeln) und . Hieraus folgt für den Tangentenvektor der Evolute :
Aus dieser Gleichung ergeben sich die folgenden Eigenschaften einer Evolute:
- Die Evolute ist in Punkten mit nicht regulär, d.h., sie hat in Punkten maximaler oder minimaler Krümmung Spitzen (s. Parabel, Ellipse, Nephroide).
- Die Normalen der gegebenen Kurve sind Tangenten der Evolute, d.h.: Die Evolute ist die Einhüllende der Normalen der gegebenen Kurve.
- In Abschnitten der gegebenen Kurve, in denen bzw. gilt, ist sie eine Evolvente ihrer Evolute. (Im Bild ist die blaue Parabel eine Evolvente der roten Neilschen Parabel.)
Beweis der letzten Eigenschaft:
In dem betrachteten Abschnitt sei
.
Eine Evolvente der Evolute lässt
sich folgendermaßen beschreiben:
wobei
eine Fadenverlängerung bedeutet (s. Evolvente).
Mit
und
ergibt sich
D. h., für die Fadenverlängerung erhält man die gegebene Kurve wieder.
- Parallele Kurven besitzen dieselbe Evolute.
Beweis: Eine zur gegebenen Kurve im Abstand parallele Kurve besitzt die Parameterdarstellung und den Krümmungsradius (s. Parallelkurve) . Die Evolute der Parallelkurve ist also
Beispiele
Evolute der Normalparabel
Die Normalparabel lässt sich durch die Parameterdarstellung beschreiben. Nach den obigen Formeln ergeben sich für die Evolute die folgenden Gleichungen:
Dies ist die Parameterdarstellung einer Neilschen Parabel.
Evolute einer Ellipse
Für die Ellipse mit der Parameterdarstellung ergibt sich:
Diese Gleichungen beschreiben eine schiefe Astroide. Elimination von liefert die implizite Darstellung
Evoluten bekannter Kurven
- Zu einer Astroide: wiederum eine Astroide (doppelt so groß)
- Zu einer Ellipse: eine schiefe Astroide
- Zu einer Kardioide: wiederum eine Kardioide (ein Drittel so groß)
- Zu einem Kreis: ein Punkt, nämlich dessen Mittelpunkt
- Zu einer Deltoide: wiederum eine Deltoide (dreimal so groß)
- Zu einer Zykloide: eine kongruente Zykloide
- Zu einer Epizykloide: eine vergrößerte Epizykloide
- Zu einer Hypozykloide: eine ähnliche Hypozykloide
- Zu einer logarithmischen Spirale: die gleiche logarithmische Spirale
- Zu einer Nephroide: wiederum eine Nephroide (halb so groß)
- Zu einer Parabel: eine Neilsche Parabel
- Zu einer Traktrix: eine Katenoide (Kettenlinie)
Literatur
- K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und … Springer-Verlag, 2012, ISBN 3-8348-8346-8.
- Kleine Enzyklopädie Mathematik. Harry Deutsch Verlag, 1977, ISBN 3-87144-323-9.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 19.12. 2021