Evolute

Die Evolute (rot) einer Kurve (Parabel, blau) ist der geometrische Ort aller Krümmungsmittelpunkte oder auch die Einhüllende ihrer Normalen

Die Evolute einer ebenen Kurve ist

Oder auch:

Evoluten stehen in engem Zusammenhang mit den Evolventen einer gegebenen Kurve, denn es gilt: Eine Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen.

Evolute einer parametrisierten Kurve

Beschreibt {\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]} eine reguläre Kurve in der euklidischen Ebene, deren Krümmung nirgends 0 ist, und sind {\displaystyle \rho (t)} der Krümmungskreisradius und {\displaystyle {\vec {n}}(t)} die zum Krümmungsmittelpunkt weisende Einheitsnormale, so ist

die Evolute der gegebenen Kurve.

Ist {\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}} und {\displaystyle {\vec {E}}=(X,Y)^{T}}, so ist

{\displaystyle \displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}}.

Eigenschaften der Evolute

Evolute: Die Normale in P ist Tangente in M.

Um Eigenschaften einer regulären Kurve herzuleiten, ist es vorteilhaft, die Bogenlänge s der gegebenen Kurve als Parameter zu verwenden. Denn dann gilt (s. Frenetsche Formeln) {\displaystyle \;|{\vec {c}}'|=1\;} und {\displaystyle \;{\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho \;}. Hieraus folgt für den Tangentenvektor der Evolute {\displaystyle \;{\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;}:

{\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\;.}

Aus dieser Gleichung ergeben sich die folgenden Eigenschaften einer Evolute:

Beweis der letzten Eigenschaft:
In dem betrachteten Abschnitt sei {\displaystyle \rho '>0}. Eine Evolvente der Evolute lässt sich folgendermaßen beschreiben:

{\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {E}}-{\frac {{\vec {E}}'}{|{\vec {E}}'|}}\;{\Big (}\int _{0}^{s}|{\vec {E}}'(w)|\;\mathrm {d} w+l_{0}\;{\Big )}\;,}

wobei l_0 eine Fadenverlängerung bedeutet (s. Evolvente).
Mit {\displaystyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}} und {\displaystyle \rho '>0} ergibt sich

{\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\;{\Big (}\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}{\Big )}={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\;.}

D. h., für die Fadenverlängerung {\displaystyle l_{0}=\rho (0)} erhält man die gegebene Kurve wieder.

Beweis: Eine zur gegebenen Kurve im Abstand d parallele Kurve besitzt die Parameterdarstellung {\displaystyle {\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}} und den Krümmungsradius (s. Parallelkurve) {\displaystyle \rho _{d}=\rho -d}. Die Evolute der Parallelkurve ist also {\displaystyle {\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.}

Beispiele

Evolute der Normalparabel

Die Normalparabel lässt sich durch die Parameterdarstellung {\displaystyle (t,t^{2})} beschreiben. Nach den obigen Formeln ergeben sich für die Evolute die folgenden Gleichungen:

{\displaystyle X=\cdots =-4t^{3}}
{\displaystyle Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}}

Dies ist die Parameterdarstellung einer Neilschen Parabel.

Evolute (rot) einer Ellipse
Die Evolute der großen Nephroide (blau) ist die kleine Nephroide (rot)

Evolute einer Ellipse

Für die Ellipse mit der Parameterdarstellung {\displaystyle (a\cos t,b\sin t)} ergibt sich:

{\displaystyle X=\cdots ={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t}
{\displaystyle Y=\cdots ={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t}

Diese Gleichungen beschreiben eine schiefe Astroide. Elimination von t liefert die implizite Darstellung

Evoluten bekannter Kurven

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 19.12. 2021