Diophantische Approximation

Die mathematische Disziplin der diophantischen Approximation, benannt nach Diophantos von Alexandria, beschäftigt sich mit der Annäherung reeller Zahlen durch rationale Zahlen. Bekannte Sätze in der Theorie der diophantischen Approximation sind der dirichletsche Approximationssatz und der Satz von Thue-Siegel-Roth.

Die Theorie spielt auch eine bedeutende Rolle bei der Frage der Lösbarkeit diophantischer Gleichungen und in der Theorie transzendenter Zahlen.

Euler bewies im 18. Jahrhundert, dass die besten rationalen Approximationen reeller Zahlen durch die regulären Kettenbrüche gegeben sind (bricht man den Kettenbruch an einer Stelle ab, hat man eine rationale Zahl als Näherung an die reelle Zahl). Dass ${\tfrac {p}{q}}$ eine beste Approximation von ist, bedeutet dabei, dass

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|\leq \left|x-{\frac {p'}{q'}}\right|$

für jede rationale Zahl ${\tfrac {p'}{q'}}$ mit $0<q'\leq q$ gilt – dass also jede bessere Näherung einen größeren Nenner hat.

Manchmal wird auch folgende Ungleichung für die Definition der besten Näherung verwendet:

$\left|q\,x-p\right|<\left|q^{\prime }\,x-p^{\prime }\right|$

Beste Näherungen im Sinn dieser Definition sind auch beste Näherungen im Sinn der ersten Definition, aber nicht umgekehrt. Bei regulären Kettenbrüchen sind die -ten Näherungsbrüche beste Näherungen im Sinn der zweiten Definition (siehe Kettenbruch und weitere dort angegebene Resultate).

Joseph Liouville bewies 1844, dass es bei algebraischen Zahlen (Lösungen einer algebraischen Gleichung vom Grad ) eine untere Schranke für die Näherung durch rationale Zahlen gibt, die vom Nenner der rationalen Zahl abhängt und vom Grad der Gleichung:

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c}{q^{n}}}$

mit einer von der zu approximierenden Zahl abhängigen Konstanten . Liouville gelang damit auch der erste Beweis der Existenz einer transzendenten Zahl und ähnliche Methoden wurden für Transzendenzbeweise benutzt wie für die Eulersche Zahl oder die Kreiszahl $\pi$ . Der Satz von Liouville wurde im Lauf der Zeit verschärft bis zum Satz von Thue-Siegel-Roth im 20. Jahrhundert mit einem Exponenten $2+\epsilon$ im Nenner bei der unteren Schranke und einer Konstanten, die zusätzlich von der beliebig kleinen reellen Zahl $\epsilon$ abhing.

Eine obere Schranke für die Näherung durch rationale Zahlen gibt der dirichletsche Approximationssatz: Für jede irrationale algebraische Zahl gibt es unendlich viele rationale Näherungen ${\frac {p}{q}}$ mit

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}.$

Auf der rechten Seite kann der Nenner noch auf ${\sqrt {5}}\,q$ verbessert werden (Émile Borel), eine weitere Verschärfung ist nach dem Satz von Hurwitz nicht möglich, da es für die Näherung der goldenen Zahl für $c\,q$ im Nenner mit $c>{\sqrt {5}}$ nur endlich viele Lösungen gibt.

Basierend auf einem Artikel in:

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