Satz von Thue-Siegel-Roth

Der Satz von Thue-Siegel-Roth aus der Theorie diophantischer Approximationen in der Zahlentheorie wurde von Klaus Friedrich Roth nach Vorarbeiten von Axel Thue und Carl Ludwig Siegel 1955 bewiesen.

Er besagt, dass für jede algebraische Zahl $\alpha$ und jedes $\varepsilon >0$ die Ungleichung (p, q teilerfremd)

$\left\|\alpha -{\frac {p}{q}}\right\|<q^{{-(2+\varepsilon )}}$		(Ungleichung 1)

nur endlich viele Lösungen hat. Davor hatte bereits Joseph Liouville 1844 gezeigt, dass für irrationale $\alpha$ in

$\left\|\alpha -{\frac {p}{q}}\right\|<q^{-\mu }$		(Ungleichung 2)

gilt: $\mu \leq n$ . Hierbei ist n der Grad der algebraischen Gleichung mit Wurzel $\alpha$ . Elementare Überlegungen zeigen außerdem, dass $\mu \geq 2$ ist (siehe unten). Axel Thue zeigte 1908, dass $\mu \leq n/2+1$ und Carl Ludwig Siegel 1921 in seiner Dissertation, dass $\mu \leq 2{\sqrt {n}}$ . Roth verbesserte also auf $\mu \leq 2+\varepsilon$ .

Indem man diese endlich vielen Lösungen beiseitelässt, lässt sich aus (Ungleichung 1) folgern, dass für genügend große q für jedes irrationale $\alpha$ gilt:

$\left\|\alpha -{\frac {p}{q}}\right\|>C(\varepsilon )q^{{-(2+\varepsilon )}}$		(Ungleichung 3)

mit einem nur von $\varepsilon$ abhängigen C. Das ist der „beste“ mögliche solche Satz, da nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Dirichletscher Approximationssatz) jede reelle Zahl $\alpha$ Approximanten p/q hat, die näher als $q^{-2}$ liegen (es gibt sogar unendlich viele, z.B. die Approximanten der Kettenbruch-Darstellungen dieser Zahlen).

Der Beweis von Roth gibt keine Methode an, solche Lösungen zu finden bzw. C einzuschränken. Das wäre interessant, um etwas über die Anzahl der Lösungen Diophantischer Gleichungen zu erfahren (d.h. ganzzahligen oder rationalen Lösungen algebraischer Gleichungen, für die beispielsweise das $\alpha$ in (Ungleichung 3) eine reelle Wurzel ist). Solche effektiven Methoden wurden in den 1960er Jahren von Alan Baker in die Theorie transzendenter Zahlen und diophantischer Gleichungen eingeführt. Der Satz von Thue-Siegel-Roth folgt auch aus dem Subspace-Theorem von Wolfgang Schmidt. Dieser gab auch eine Verallgemeinerung für simultane Näherung mehrerer algebraischer Zahlen $x_{1},\cdots ,x_{n}$ . Seien $1,x_{1},\cdots ,x_{n}$ linear unabhängig über den rationalen Zahlen und $\varepsilon$ eine beliebige positive reelle Zahl, dann gibt es nur endliche viele n-Tupel rationaler Zahlen ${\frac {p_{1}}{q}},\cdots ,{\frac {p_{n}}{q}}$ mit

$|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}|<q^{-(1+{\frac {1}{n}}+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.$

Es gibt auch eine p-adische Version des Satzes von Thue-Siegel-Roth.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de