Arkussekans und Arkuskosekans

Arkussekans und Arkuskosekans sind zyklometrische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der Sekansfunktion bzw. der Kosekansfunktion und damit Arkusfunktionen. Da die Sekans- und die Kosekansfunktion periodisch sind, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Sekans auf $\lbrack 0\,,\,\pi \rbrack$ , und der Definitionsbereich von Kosekans auf $\lbrack -{\pi /2},\,\pi /2\rbrack$ beschränkt. Der Arkussekans wird mit $\operatorname {arcsec}\,(x)$ bezeichnet und der Arkuskosekans mit $\operatorname {arccsc}\,(x)$ . Seltener, vor allem aber im Englischen verwendet man auch die Schreibweisen $\sec ^{{-1}}(x)$ und $\csc ^{{-1}}$ ; sie bedeuten aber nicht, dass $\operatorname {arcsec}$ bzw. $\operatorname {arccsc}$ die Kehrwerte von $\sec$ und $\csc$ sind.

Eigenschaften

	Arkussekans	Arkuskosekans
Funktions- Graphen
Definitionsbereich	$-\infty <x\leq -1\,,\,1\leq x<+\infty$	$-\infty <x\leq -1\,,\,1\leq x<+\infty$
Wertebereich	$0\leq f(x)\leq \pi$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq f(x)\leq {\frac {\pi }{2}}$
Monotonie	In beiden Abschnitten jeweils streng monoton steigend	In beiden Abschnitten jeweils streng monoton fallend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Punkt $x=0,y={\frac {\pi }{2}}$	Ungerade Funktion $\operatorname {arccsc}\,(x)=-\operatorname {arccsc}\,(-x)$
Asymptoten	$f(x)\to {\frac {\pi }{2}}$ für $x \to\pm\infty$	$f(x)\to 0$ für $x \to\pm\infty$
Nullstellen	$x=1\!\,$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	Minimum bei $\left(1\|0\right)$ , Maximum bei $\left(-1\|\pi \right)$	Minimum bei $\left(-1\|-{\frac \pi 2}\right)$ , Maximum bei $\left(1\|{\frac \pi 2}\right)$
Wendepunkte	keine	keine

Reihenentwicklungen

Die Reihenentwicklungen von Arkussekans und Arkuskosekans sind:

$\operatorname{arcsec}(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{{k=0}}^{{\infty }}{\frac {(2k-1)!!x^{{-(2k+1)}}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}\approx {\frac {\pi }{2}}-x^{{-1}}-{\frac {1}{6}}x^{{-3}}-{\frac {3}{40}}x^{{-5}}$

$\operatorname{arccsc}(x)=\sum _{{k=0}}^{{\infty }}{\frac {(2k-1)!!x^{{-(2k+1)}}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}={\frac {1}{x}}\;+\;{\frac {1}{2\cdot 3x^{3}}}\;+\;{\frac {3}{2\!\cdot \!4\cdot 5x^{5}}}\;+\;{\frac {3\!\cdot \!5}{2\!\cdot \!4\!\cdot \!6\cdot 7x^{7}}}\;+\;\ldots$

Integraldarstellungen

Für den Arkussekans und Arkuskosekans existieren folgende Integraldarstellungen:

$\operatorname{arcsec}(x)=\int \limits _{1}^{x}{\frac {{\mathrm {d}}t}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}$

$\operatorname{arccsc}(x)=\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {{\mathrm {d}}t}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}$

Ableitungen

Die Ableitungen sind gegeben durch:

${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\operatorname {arcsec}\,(ax+b)={\frac {a}{|ax+b|{\sqrt {(ax+b)^{2}-1}}}}$

${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\operatorname {arccsc}\,(ax+b)=-{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\operatorname {arcsec}\,(ax+b)=-{\frac {a}{|ax+b|{\sqrt {(ax+b)^{2}-1}}}}$

Integrale

$\int \operatorname {arcsec}\,(x)\,{\mathrm {d}}x=x\cdot \operatorname {arcsec}\,(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$

$\int \operatorname {arccsc}\,(x)\,{\mathrm {d}}x=x\cdot \operatorname {arccsc}\,(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$

Umrechnung und Beziehungen zu anderen trigonometrischen Funktionen

$\operatorname {arcsec}\,(x)=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$

$\operatorname {arccsc}\,(x)=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)$

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de