Arkussekans und Arkuskosekans

Arkussekans und Arkuskosekans sind zyklometrische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der Sekansfunktion bzw. der Kosekansfunktion und damit Arkusfunktionen. Da die Sekans- und die Kosekansfunktion periodisch sind, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Sekans auf \lbrack 0\,,\,\pi \rbrack , und der Definitionsbereich von Kosekans auf \lbrack -{\pi /2},\,\pi /2\rbrack beschränkt. Der Arkussekans wird mit \operatorname {arcsec}\,(x) bezeichnet und der Arkuskosekans mit \operatorname {arccsc}\,(x). Seltener, vor allem aber im Englischen verwendet man auch die Schreibweisen \sec ^{{-1}}(x) und \csc ^{{-1}}; sie bedeuten aber nicht, dass \operatorname {arcsec} bzw. \operatorname {arccsc} die Kehrwerte von \sec und \csc sind.

Eigenschaften

  Arkussekans Arkuskosekans
Funktions-
Graphen
Arcsecant.svg Arccosecant.svg
Definitionsbereich -\infty <x\leq -1\,,\,1\leq x<+\infty -\infty <x\leq -1\,,\,1\leq x<+\infty
Wertebereich 0\leq f(x)\leq \pi -{\frac  {\pi }{2}}\leq f(x)\leq {\frac  {\pi }{2}}
Monotonie In beiden Abschnitten jeweils streng monoton steigend In beiden Abschnitten jeweils streng monoton fallend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Punkt x=0,y={\frac  {\pi }{2}} Ungerade Funktion \operatorname {arccsc}\,(x)=-\operatorname {arccsc}\,(-x)
Asymptoten f(x)\to {\frac  {\pi }{2}} für x \to\pm\infty f(x)\to 0 für x \to\pm\infty
Nullstellen x=1\!\, keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema Minimum bei \left(1|0\right), Maximum bei \left(-1|\pi \right) Minimum bei \left(-1|-{\frac  \pi 2}\right), Maximum bei \left(1|{\frac  \pi 2}\right)
Wendepunkte keine keine

Reihenentwicklungen

Die Reihenentwicklungen von Arkussekans und Arkuskosekans sind:

\operatorname{arcsec}(x)={\frac  {\pi }{2}}-\sum _{{k=0}}^{{\infty }}{\frac  {(2k-1)!!x^{{-(2k+1)}}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}\approx {\frac  {\pi }{2}}-x^{{-1}}-{\frac  {1}{6}}x^{{-3}}-{\frac  {3}{40}}x^{{-5}}
\operatorname{arccsc}(x)=\sum _{{k=0}}^{{\infty }}{\frac  {(2k-1)!!x^{{-(2k+1)}}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}={\frac  {1}{x}}\;+\;{\frac  {1}{2\cdot 3x^{3}}}\;+\;{\frac  {3}{2\!\cdot \!4\cdot 5x^{5}}}\;+\;{\frac  {3\!\cdot \!5}{2\!\cdot \!4\!\cdot \!6\cdot 7x^{7}}}\;+\;\ldots

Integraldarstellungen

Für den Arkussekans und Arkuskosekans existieren folgende Integraldarstellungen:

\operatorname{arcsec}(x)=\int \limits _{1}^{x}{\frac  {{\mathrm  {d}}t}{t{\sqrt  {t^{2}-1}}}}
\operatorname{arccsc}(x)=\int \limits _{x}^{\infty }{\frac  {{\mathrm  {d}}t}{t{\sqrt  {t^{2}-1}}}}

Ableitungen

Die Ableitungen sind gegeben durch:

{\frac  {{\mathrm  {d}}}{{\mathrm  {d}}x}}\operatorname {arcsec}\,(ax+b)={\frac  {a}{|ax+b|{\sqrt  {(ax+b)^{2}-1}}}}
{\frac  {{\mathrm  {d}}}{{\mathrm  {d}}x}}\operatorname {arccsc}\,(ax+b)=-{\frac  {{\mathrm  {d}}}{{\mathrm  {d}}x}}\operatorname {arcsec}\,(ax+b)=-{\frac  {a}{|ax+b|{\sqrt  {(ax+b)^{2}-1}}}}

Integrale

\int \operatorname {arcsec}\,(x)\,{\mathrm  {d}}x=x\cdot \operatorname {arcsec}\,(x)-\ln \left(x+{\sqrt  {x^{2}-1}}\right)
\int \operatorname {arccsc}\,(x)\,{\mathrm  {d}}x=x\cdot \operatorname {arccsc}\,(x)+\ln \left(x+{\sqrt  {x^{2}-1}}\right)

Umrechnung und Beziehungen zu anderen trigonometrischen Funktionen

\operatorname {arcsec}\,(x)=\arccos \left({\frac  {1}{x}}\right)
\operatorname {arccsc}\,(x)=\arcsin \left({\frac  {1}{x}}\right)

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 07.11. 2020