Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus

Sekans hyperbolicus (blau) und Kosekans hyperbolicus (rot)

Die Funktionen Kosekans hyperbolicus (csch) und Sekans hyperbolicus (sech) sind Hyperbelfunktionen. Sie ergeben sich als Kehrwert von Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus.

Definitionen

{\displaystyle 
\begin{align}
\operatorname{sech}\ x &= \frac{2}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{\cosh x}\\
\operatorname{csch}\ x &= \frac{2}{e^x - e^{-x}} = \frac{1}{\sinh x}
\end{align}
}

Eigenschaften

  Sekans hyperbolicus Kosekans hyperbolicus
Definitionsbereich {\displaystyle -\infty <x<+\infty } {\displaystyle -\infty <x<+\infty \,;\,x\neq 0}
Wertebereich {\displaystyle 0<f(x)\leq 1} {\displaystyle -\infty <f(x)<+\infty \,;\,f(x)\neq 0}
Periodizität keine keine
Monotonie x<0 streng monoton steigend
x>0 streng monoton fallend
x>0 streng monoton fallend
x<0 streng monoton fallend
Symmetrien Spiegelsymmetrie zur y-Achse Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Achsensymmetrie zu y = {\displaystyle -x}
Asymptote f(x)\to 0 für {\displaystyle x \to \pm \infty} f(x)\to 0 für {\displaystyle x \to \pm \infty}
Nullstellen keine keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine x=0
Extrema Maximum bei x = 0 keine
Wendepunkte {\displaystyle x=\pm \ln {(1+{\sqrt {2}})}} keine

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktion sind die entsprechenden Areafunktionen:

{\displaystyle 
\begin{align}
x &= \operatorname{arsech}\ y\\
x &= \operatorname{arcsch}\ y
\end{align}
}

Ableitungen

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sech} \ x&=-\operatorname {sech} \ x\cdot \operatorname {tanh} \ x=-{\frac {\sinh x}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {csch} \ x&=-\operatorname {csch} \ x\cdot \operatorname {coth} \ x=-{\frac {\cosh x}{\sinh ^{2}x}}=-\operatorname {csch} \ x\cdot {\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}x}}\\\end{aligned}}}

Integrale

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {sech} x\ \mathrm {d} x&=\arctan \left(\sinh x\right)+C\\\int \operatorname {csch} x\ \mathrm {d} x&=\ln \left|\operatorname {tanh} \,{\frac {x}{2}}\right|+C\end{aligned}}}

Reihenentwicklungen

{\displaystyle 
\begin{align}
\operatorname{sech}\ x &= \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(8k + 4)\pi}{(2k+1)^2\pi^2+4 x^2}\\
\operatorname{csch}\ x &= 1/x + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{2 x}{k^2\pi^2+x^2}
\end{align}
}

Komplexes Argument

{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sech} (x+\mathrm {i} y)={\frac {2\cosh(x)\cos(y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}+\mathrm {i} {\frac {-2\sinh(x)\sin(y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}\\&\operatorname {sech} (\mathrm {i} y)=\sec(y)\\&\operatorname {csch} (x+\mathrm {i} y)={\frac {2\sinh(x)\cos(y)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {-2\cosh(x)\sin(y)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}\\&\operatorname {csch} (\mathrm {i} y)=-\mathrm {i} \csc(y)\end{aligned}}}

Siehe auch

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 30.12. 2021