Parallelogramm

Ein Parallelogramm oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.
Parallelogramme sind spezielle Trapeze und zweidimensionale Parallelepipede. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.
Eigenschaften
Ein nicht ausgeartetes Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
- Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
- Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
- Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
- Die Diagonalen halbieren einander.
- Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).
Für jedes Parallelogramm gilt:
- Jede Diagonale teilt es in zwei (gleich orientierte) kongruente Dreiecke.
- Das Zentrum der Symmetrie ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
- Der Satz von Thébault-Yaglom
Verwendung in der Technik
Parallelogramme finden sich häufig in der Mechanik. Durch vier Gelenke kann eine bewegliche, parallelentreue Lagerung hergestellt werden, die so genannte Parallelogrammführung. Beispiele:
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Schaltparallelogramm einer Kettenschaltung
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Parallel-Scheibenwischer
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Hubarbeitsbühne
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Pantograph
Formelsammlung
Formeln zum Parallelogramm | |
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Seitenlängen | ![]() |
Innenwinkel | ![]() |
Flächeninhalt | ![]()
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Höhe zu a | ![]() |
Höhe zu b | ![]() |
Diagonalen (Kosinussatz) |
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Parallelogrammgleichung | ![]() |
Verallgemeinerungen
Eine Verallgemeinerung auf
Dimensionen
ist das Parallelotop
,
erklärt als die Menge
sowie deren Parallelverschiebungen.
Dabei sind die
linear
unabhängige Vektoren.
Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm

Die Fläche
des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms kann man erhalten, indem man von
der Fläche des großen Rechtecks die sechs kleinen Flächen mit bunten Kanten
abzieht. Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der Multiplikation kann
man auch vom großen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flächen unterhalb des
Parallelogramms abziehen. Es ist also:



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 26.01. 2022