Parallelogramm

Bezeichnungen am Parallelogramm

Ein Parallelogramm oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.

Parallelogramme sind spezielle Trapeze und zweidimensionale Parallelepipede. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.

Eigenschaften

Ein nicht ausgeartetes Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
Die Diagonalen halbieren einander.
Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).

Für jedes Parallelogramm gilt:

Jede Diagonale teilt es in zwei (gleich orientierte) kongruente Dreiecke.
Das Zentrum der Symmetrie ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
Der Satz von Thébault-Yaglom

Verwendung in der Technik

Parallelogramme finden sich häufig in der Mechanik. Durch vier Gelenke kann eine bewegliche, parallelentreue Lagerung hergestellt werden, die so genannte Parallelogrammführung. Beispiele:

Schaltparallelogramm einer Kettenschaltung
Parallel-Scheibenwischer
Hubarbeitsbühne
Pantograph

Formelsammlung

Formeln zum Parallelogramm
Seitenlängen	$a = c, \quad b = d$
Innenwinkel	$\alpha = \gamma, \quad \beta = \delta = 180^\circ - \alpha$
Flächeninhalt	$A \, = \, a \cdot h_a = b \cdot h_b = \, \left\| \left\|\,\overrightarrow{AB} \, \times \, \overrightarrow{AD}\,\right\| \right\|$ $A \, = \, a \cdot b \cdot \sin\alpha = a \cdot b \cdot \sin\beta = \frac {e \cdot f \cdot \sin \theta}{2}$ Über Transformation in Rechteck mit der Determinante: $A = \Delta x \, \Delta y = \left\| \begin{matrix} a_x && a_y \\b_x && b_y \end{matrix} \right\|$
Höhe zu a	$h_a \, = \, b \cdot \sin\alpha = b \cdot \sin\beta$
Höhe zu b	$h_b \, = \, a \cdot \sin\alpha = a \cdot \sin\beta$
Diagonalen (Kosinussatz)	$\begin{array}{ccl} f & = & \sqrt{ a^2+b^2-2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\alpha) } \\ & = & \sqrt{ a^2+b^2+2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\beta) } \\ e & = & \sqrt{ a^2+b^2-2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\beta) } \\ & = & \sqrt{ a^2+b^2+2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\alpha) } \end{array}$
Parallelogrammgleichung	$e^2+f^2 = 2\left(a^2+b^2\right)$

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung auf Dimensionen ist das Parallelotop , erklärt als die Menge $\{\alpha_1 p_1+\alpha_2 p_2 \dots \alpha_n p_n\mid 0\le\alpha_i\le 1\}$ sowie deren Parallelverschiebungen. Dabei sind die p_i linear unabhängige Vektoren.

Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm

Vom großen Rechteck werden sechs Teilflächen abgezogen

Die Fläche des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms kann man erhalten, indem man von der Fläche des großen Rechtecks die sechs kleinen Flächen mit bunten Kanten abzieht. Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der Multiplikation kann man auch vom großen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flächen unterhalb des Parallelogramms abziehen. Es ist also: $\begin{array}{cccl} F&=& &(\color{YellowOrange} a_x\color{black}+ \color{ForestGreen} b_x \color{black})( \color{red} a_y\color{black}+\color{blue}b_y\color{black})-2\cdot (\color{YellowOrange}a_x \color{red}a_y\color{black}/2 +\color{ForestGreen}b_x \color{red}a_y \color{black}+\color{ForestGreen}b_x \color{blue}b_y\color{black}/2)\\ & = & & \color{YellowOrange}a_x \color{red}a_y \color{black}+\color{YellowOrange}a_x \color{blue}b_y \color{black}+\color{ForestGreen}b_x \color{red}a_y \color{black}+\color{ForestGreen}b_x \color{blue}b_y\\ & &\color{black}- &\color{YellowOrange}a_x \color{red}a_y \color{black}\quad \quad \quad -2 \color{ForestGreen}b_x \color{red}a_y \color{black}-\color{ForestGreen}b_x \color{blue}b_y\\ & = & &\quad \quad \quad \color{YellowOrange}a_x \color{blue}b_y \color{black}-\color{ForestGreen}b_x \color{red}a_y \end{array}$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de