Website durchsuchen

Zentrische Streckung

Zentrische Streckung mit positivem Streckungsfaktor
Zentrische Streckung mit negativem Streckungsfaktor

Unter einer zentrischen Streckung versteht man in der Geometrie eine Abbildung, die alle Strecken in einem bestimmten, gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert, wobei die Bildstrecken jeweils zu den ursprünglichen Strecken parallel sind. Zentrische Streckungen sind spezielle Ähnlichkeitsabbildungen.

Definition

Gegeben seien ein Punkt Z der Zeichenebene oder des Raumes und eine reelle Zahl m\neq 0. Die zentrische Streckung mit Zentrum Z und Streckungsfaktor (Abbildungsfaktor) m ist diejenige Abbildung der Zeichenebene beziehungsweise des Raumes in sich, bei der der Bildpunkt P' eines Punktes P folgende Eigenschaften besitzt:

Die beiden Skizzen zeigen die Anwendung zweier zentrischer Streckungen (mit m=3 und m=-0{,}5) auf jeweils ein Dreieck ABC.

Eigenschaften

P'=Z+m(P-Z)=mP+(1-m)Z.

Spezialfälle

Für m=1 ergibt sich die identische Abbildung (Identität), für m=-1 eine Punktspiegelung. Der Fall m = 0 ist nicht erlaubt, da sonst alle Punkte denselben Bildpunkt hätten, nämlich das Zentrum.

Verallgemeinerungen

In den beiden zuletzt genannten Fällen kann man im Allgemeinen weder von Winkel- noch von Längenverhältnistreue sprechen, da weder ein Winkelmaß noch ein Längenmaß existieren muss. Auch hier gehören die zentrischen Streckungen aber stets zu den Dilatationen und den Affinitäten und für Fixpunkte und Fixgeraden gilt das Gleiche wie im reellen Fall.

Siehe auch

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 19.12. 2020