Trägheitsmoment
Physikalische Größe | |||||||
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Name | Trägheitsmoment | ||||||
Formelzeichen der Größe | ![]() | ||||||
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Siehe auch: Trägheitstensor |
Das Trägheitsmoment, auch Massenträgheitsmoment oder Inertialmoment, gibt den Widerstand eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung um eine gegebene Achse an (Drehmoment geteilt durch Winkelbeschleunigung). Damit spielt es die gleiche Rolle wie im Verhältnis von Kraft und Beschleunigung die Masse; deswegen ist in der älteren Literatur auch die Bezeichnung Drehmasse gebräuchlich. Als physikalische Größe kommt es erstmals 1740 im Werk Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum von Leonhard Euler vor.
Das Trägheitsmoment hängt von der Massenverteilung in Bezug auf die Drehachse ab. Je weiter ein Massenelement von der Drehachse entfernt ist, desto mehr trägt es zum Trägheitsmoment bei; der Abstand geht quadratisch ein.
Ist die Drehachse nicht fest vorgegeben, so reicht zur Beschreibung des Trägheitsverhaltens eine einzelne Zahl nicht aus. Aus dem Trägheitstensor kann das Trägheitsmoment für jede beliebige Achse durch den Schwerpunkt berechnet werden.
Anschauliche Beispiele
Balancierhilfe

Beim Seiltanz werden als Balancierhilfe bevorzugt lange Stangen verwendet. Im Vergleich zu einem gleich schweren kompakten Körper, etwa einem Sandsack, hat so eine Stange ein sehr großes Trägheitsmoment. Ein Zur-Seite-Kippen wird dadurch nicht verhindert, aber so verlangsamt, dass der Artist genug Zeit für eine ausgleichende Bewegung hat.
Den Effekt kann man leicht selbst ausprobieren: Ein 30-cm-Lineal (kürzer ist schwieriger) lässt sich hochkant auf der Handfläche balancieren. Quer jedoch, auf eine seiner langen Kanten gestellt, fällt es komplett um, bevor man reagieren kann. Die Drehachse ist in beiden Fällen die aufliegende Kante, während das mittlere Abstandsquadrat von dieser Achse mit über 300 cm2 bzw. rund 4 cm2 stark verschieden ist.
Dass der Abstand quadratisch in das Trägheitsmoment eingeht, lässt sich leicht einsehen: Eine gegebene Winkelbeschleunigung bedeutet für ein Massenelement in doppeltem Abstand eine doppelt so große tangentiale Beschleunigung und damit eine doppelt so große Trägheitskraft. Das Drehmoment, doppelte Kraft × doppelter Hebelarm, ist damit vierfach so groß.
Drehstuhl und Pirouette
Mit einem weiteren einfachen Experiment kann man eine Änderung des Trägheitsmoments veranschaulichen. Man setzt sich möglichst mittig auf einen drehbaren Bürostuhl und lässt sich mit gestreckten Armen und Beinen in Drehung versetzen. Wenn man dann die Arme und Beine an den Körper heranzieht, nimmt das Trägheitsmoment ab. Das führt dazu, dass die Drehbewegung schneller wird, weil der Drehimpuls erhalten bleibt (Drehimpulserhaltung). Erneutes Ausstrecken verlangsamt die Bewegung wieder. Um den Effekt zu verstärken, kann man in jede Hand schwere Gegenstände nehmen, etwa Hanteln. Je größer deren Masse, desto deutlicher wird der Effekt.
Ein ähnliches Beispiel ist der Pirouetteneffekt, der aus dem Eiskunstlaufen bekannt ist. Die Kontrolle der Drehgeschwindigkeit kann allein aus der Verlagerung der Körpermasse relativ zur Drehachse erfolgen. Zieht der Eiskunstläufer die Arme an oder richtet sich aus einer Hockstellung gerade auf, so dreht er sich schneller – ein erneutes Schwungholen ist nicht nötig.
Formelzeichen und Einheit
Die geläufigsten Formelzeichen
für das Trägheitsmoment sind
und
,
zurückgehend auf das lateinische
Wort iners, das untätig
und träge bedeutet. Da beide Symbole aber auch in der Elektrotechnik Verwendung
finden, ist weiterhin ein
(großes Theta)
gebräuchlich. In diesem Artikel wird durchgehend
verwendet.
DieSI-Einheit des Trägheitsmoments ist kg·m2.
Vergleich mit der Masse bei linearer Bewegung
Das Trägheitsmoment
bei einer rotierenden Bewegung ist vergleichbar mit der Masse
einer linearen (geradlinigen) Bewegung (ausführlich siehe Rotation
(Physik)#Vergleich mit der Translationsbewegung). Man vergleiche folgende
Gleichungen:
Rotationsbewegung: Drehmoment = Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung,
Translationsbewegung: Kraft = Masse mal Beschleunigung (Zweites Newtonsches Gesetz).
Allgemeine Definition






Das Massenträgheitsmoment
lässt sich bei bekannter Massenverteilung
eines Körpers aus folgendem Volumenintegral berechnen:
.
Dabei ist
der zur Rotationsachse
(Winkelgeschwindigkeit)
senkrechte Anteil von
(siehe nebenstehende Abbildung).
Motivation der Definition
Starrer Körper bestehend aus Massenpunkten


Die gesamte kinetische
Energie eines starren
Körpers, der aus
Massenpunkten
besteht, ergibt sich aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen
Massenpunkte:
.
Dabei ist
die Bahngeschwindigkeit
des i-ten Massepunktes. Nun soll der gesamte Körper um die Achse
rotieren. Jeder einzelne Massenpunkt beschreibt daher eine Kreisbahn. Die
Bahngeschwindigkeit
eines Teilchens, das auf einer Kreisbahn mit Radius
mit der Winkelgeschwindigkeit
rotiert, lässt sich als
berechnen. Daher folgt:
.
Analog zur Definition der Bewegungsenergie
eines linear bewegten starren Körpers aus N Massenpunkten mit der Gesamtmasse
,
definiert man das Trägheitsmoment eines rotierenden starren Körpers aus N
Massenpunkten als
.
Es gilt also
.
Durch diese Definition kann man folgende Größen rotierender Massenpunkte mit den Größen linear bewegter Massenpunkte identifizieren:
- Die Masse eines rotierenden Körpers entspricht dem Trägheitsmoment
.
- Die Geschwindigkeit eines rotierenden Körpers entspricht der
Winkelgeschwindigkeit
.
Wählt man die z-Achse des Koordinatensystems in Richtung der Rotationsachse, so lässt sich noch folgende praktische Gleichung ableiten:
.
Wobei
und
die x- und y-Koordinaten des i-ten Massenpunktes im so gewählten
Koordinatensystem sind. Der Index „z“ ist wichtig, da das Trägheitsmoment eines
Körpers immer auf eine Rotationsachse (hier die z-Achse) bezogen ist. Aus der
Gleichung ist auch ersichtlich, dass das Trägheitsmoment nicht von den
z-Koordinaten der einzelnen Massenpunkte abhängt. Das Trägheitsmoment ist
unabhängig von den Koordinaten der Massenpunkte in Richtung der
Rotationsachse.
Starrer Körper beschrieben durch Massenverteilung
Die Formel für das Massenträgheitsmoment einer allgemeinen Massenverteilung
erhält man, in dem man sich die Massenverteilung aus vielen kleinen
Massenelementen
aufgebaut, vorstellt. Die Rotationsenergie ist dann durch
.
gegeben. Der Übergang zum Integral
mit dem Volumen ,
des aus den infinitesimalen Massenelementen
zusammengesetzten Körpers, ergibt
.
Hieraus ergibt sich die oben angegebene allgemeine Definition des
Trägheitsmomentes
mit einer ortsabhängigen (also im Allgemeinen inhomogenen) Massendichte .
Zusammenhang des Trägheitsmomentes mit Drehimpuls
Der Gesamtdrehimpuls
des starren Körpers zeigt i.A. nicht in dieselbe Richtung wie die
Winkelgeschwindigkeit
.
Die achsenparallele Komponente
jedoch ist durch
gegeben. Dies lässt sich wie folgt einsehen. Der Ortsvektor eines einzelnen
Massenelementes
wird nach
in einen zu
parallelen und einen dazu senkrechten Anteil aufgeteilt. Zur achsenparallelen
Komponente des Drehimpulses dieses Massenelements
trägt der parallele Anteil des Ortsvektors nichts bei, es bleibt:
.
Die achsenparallele Komponente des Gesamtdrehimpulses ergibt sich dann zu
Außerdem folgt daraus sofort
Formeln für wichtige Spezialfälle
Homogene Massenverteilung
Bei einer homogenen Masseverteilung ist die Dichte örtlich konstant. Die Dichte kann vor das Integral gezogen werden und die Formel für das Trägheitsmoment vereinfacht sich zu
Weiter unten ist eine Beispielrechnung angegeben.
Trägheitsmoment rotationssymmetrischer Körper
Das Trägheitsmoment rotationssymmetrischer Körper, die um ihre Symmetrieachse (z-Achse)
rotieren, kann einfach mit Hilfe von Zylinderkoordinaten
berechnet werden. Dazu muss entweder die Höhe als Funktion des Radius ()
oder der Radius als Funktion der z-Koordinate (
)
bekannt sein. Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten ergibt sich zu
.
Durch Integration über
und
bzw. über
und
erhält man:
bzw.
Trägheitsmoment bezüglich zueinander paralleler Achsen

Ist das Trägheitsmoment
für eine Achse durch den Schwerpunkt eines Körpers bekannt, so kann mit Hilfe
des „steinerschen Satzes“ das Trägheitsmoment
für eine beliebige parallel verschobene Drehachse berechnet werden. Die Formel
lautet:
Dabei gibt
den Abstand der Achse durch den Schwerpunkt zur parallel verschobenen Drehachse
an.
Man kann den steinerschen Satz für zwei beliebige parallele Drehachsen verallgemeinern. Dazu muss der Satz zweimal hintereinander angewendet werden: Zunächst verschiebe man die Drehachse so, dass sie durch den Schwerpunkt des Körpers geht, danach auf den gewünschten Zielort.
Verallgemeinerung durch Trägheitstensor
Der Trägheitstensor
eines Körpers ist eine Verallgemeinerung des Trägheitsmomentes. In einem
kartesischen Koordinatensystem lässt sich der Trägheitstensor als Matrix
darstellen, die sich aus den Trägheitsmomenten bezüglich der drei
Koordinatenachsen
und den Deviationsmomenten
zusammensetzt. Die drei Trägheitsmomente bilden die Hauptdiagonale der
Matrix, die Deviationsmomente sind die Nebendiagonalelemente.
Mit Hilfe des Trägheitstensors lässt sich z.B. das Trägheitsmoment
bezüglich einer beliebigen durch den Schwerpunkt gehenden Achse berechnen. Wenn
ein starrer Körper um eine solche Achse mit der Winkelgeschwindigkeit
rotiert, so ergibt sich das Trägheitsmoment zu
oder in Matrixschreibweise
Drehung des Koordinatensystems

Eine Achse in beliebiger Raumrichtung wird beschrieben durch den
Einheitsvektor .
Man kann diesen z.B. dadurch erhalten, dass man den Einheitsvektor in
z-Richtung mittels einer Drehmatrix R dreht:
Mit
erhält man
Mit Hilfe dieser Drehmatrix kann nun der Trägheitstensor in ein Koordinatensystem transformiert werden, in dem die z-Achse in Richtung der Rotationsachse zeigt:
Das Trägheitsmoment für die neue z-Achse ist jetzt einfach das 3.
Diagonalelement des Tensors in der neuen Darstellung. Nach Ausführung der
Matrizenmultiplikation
und trigonometrischen Umformungen ergibt sich
Beispielrechnung: Rotationssymmetrischer Körper
Wir betrachten als Beispiel dazu den Trägheitstensor eines
rotationssymmetrischen Körpers. Wenn eine der Koordinatenachsen (hier die
z-Achse) mit der Symmetrieachse zusammenfällt, dann ist dieser Tensor diagonal.
Die Trägheitsmomente für Rotation um die x-Achse und die y-Achse sind gleich
().
Für die z-Achse kann das Trägheitsmoment verschieden sein (
).
Der Trägheitstensor hat damit folgende Gestalt:
Transformiert man diesen Tensor wie oben beschrieben in ein
Koordinatensystem, das um den Winkel
um die y-Achse gedreht ist, so erhält man:
Daraus ergibt sich:
- Für
sind die Trägheitsmomente für die x- und z-Achse von
abhängig.
- Für
ist der Trägheitstensor nicht mehr diagonal, es treten Deviationsmomente auf.
- Das Trägheitsmoment für die neue z-Achse ist:
- Für
hängt wegen
das Trägheitsmoment nicht von der Richtung der Drehachse ab
Besondere Trägheitsmomente
Hauptträgheitsmoment

Betrachtet man einen unregelmäßig geformten Körper, der um eine Achse durch seinen Schwerpunkt rotiert, so variiert dessen Trägheitsmoment je nach Lage der Drehachse. Dabei gibt es zwei Achsen, bezüglich derer das Trägheitsmoment des Körpers maximal bzw. minimal ist. Diese Achsen stehen immer senkrecht zueinander und bilden zusammen mit einer dritten, wiederum senkrecht auf beiden stehenden Achse die Hauptträgheitsachsen des Körpers. In einem von den Hauptträgheitsachsen aufgespannten Koordinatensystem ist der Trägheitstensor diagonal. Die zu den Hauptträgheitsachsen gehörenden Trägheitsmomente sind also die Eigenwerte des Trägheitstensors, sie heißen Hauptträgheitsmomente. Das entsprechende Koordinatensystem wird Hauptträgheitssystem genannt.
Die Hauptträgheitsachsen fallen mit eventuell vorhandenen Symmetrieachsen des Körpers zusammen. Sind zwei Hauptträgheitsmomente gleich groß, so sind alle Drehachsen in der Ebene, die von den zugehörigen Hauptträgheitsachsen aufgespannt wird, ebenfalls Hauptträgheitsachsen mit dem gleichen Trägheitsmoment. Das ist bei zylindersymmetrischen Körpern unmittelbar klar, gilt aber z.B. ebenso für einen Stab mit quadratischer oder hexagonaler Grundfläche. Für den Fall, dass alle Hauptträgheitsmomente identisch sind, ist, wie oben gezeigt wurde, jede Drehachse durch den Schwerpunkt eine Hauptträgheitsachse mit dem gleichen Trägheitsmoment. Für alle regelmäßigen Körper wie Kugel, gleichseitiges Tetraeder, Würfel, usw. ist demnach das Trägheitsmoment für jede Achse durch den Schwerpunkt gleich groß.
Siehe auch: Trägheitsellipsoid
Trägheitsmoment zur eingespannten Achse
Wenn ein starrer Körper um eine fest eingespannte Achse mit der Winkelgeschwindigkeit
rotiert (die Richtung des Vektors
ist die Richtung der Drehachse), so lässt sich der Drehimpuls
aus der allgemeinen Formel
berechnen. Dabei ist
im Gegensatz zur oben angegeben Formel nicht das Trägheitsmoment, sondern der Trägheitstensor.
Im Allgemeinen hat der Drehimpuls
jetzt nicht die Richtung der Drehachse
und ist zeitlich nicht konstant, so dass die Lager ständig Drehmomente
aufbringen müssen (Dynamische
Unwucht). Nur bei Rotation um eine der Hauptträgheitsachsen
ist
.
Für die Drehimpulskomponente
entlang der Drehachse gilt
,
dabei ist
die Winkelgeschwindigkeit und
das Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse
. Die kinetische Energie der Rotation, auch kurz als Rotationsenergie
bezeichnet, kann durch
ausgedrückt werden. Diese Formeln zeigen die Analogie zu den entsprechenden Formeln für Impuls und kinetische Energie der Translationsbewegung.
Beispiele
Trägheitsmomente von Himmelskörpern
Fast alle größeren Körper im Weltall (Sterne, Planeten) sind angenähert kugelförmig und rotieren mehr oder weniger schnell. Das Trägheitsmoment um die Rotationsachse ist immer das Größte des Himmelskörpers.
Die Differenz dieses „polaren“ und des äquatorialen Trägheitmoments hängt mit der Abplattung des Körpers zusammen, also seiner Verformung der reinen Kugelgestalt durch die Fliehkraft der Rotation. Bei der Erde liegt diese Differenz bei 0,3 Prozent, entspricht also fast der Erdabplattung von 1:298,24. Beim rasch rotierenden Jupiter sind diese Relativwerte rund 20-mal größer.
Hauptträgheitsmomente einfacher geometrischer Körper
Wenn nicht ausdrücklich anders angegeben, liegt der Schwerpunkt der geometrischen Körper auf der
Drehachse, auf die sich das Trägheitsmoment bezieht.
ist die Masse des rotierenden Körpers. Das Trägheitsmoment für Drehungen um
andere Achsen kann man dann mit Hilfe des Satzes
von Steiner berechnen.
Abbildung | Beschreibung | Trägheitsmoment |
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Eine Punktmasse im Abstand ![]() |
![]() |
![]() |
Ein Zylindermantel, der um seine Symmetrieachse rotiert, für eine
Wandstärke ![]() |
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![]() |
Ein Vollzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert. | ![]() |
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Ein Hohlzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert. Schließt die vorgenannten Grenzfälle Zylindermantel und Vollzylinder mit ein. | ![]() |
![]() |
Ein Vollzylinder, der um eine Querachse (zweizählige Symmetrieachse) rotiert. | ![]() |
![]() |
Ein Zylindermantel, der um eine Querachse (zweizählige Symmetrieachse) rotiert. | ![]() |
![]() |
Ein dünner Stab, der um eine Querachse (zweizählige Symmetrieachse)
rotiert. Diese Formel ist eine Näherung für einen Zylinder mit ![]() |
![]() |
![]() |
Dünner Stab, der um eine Querachse durch ein Ende rotiert. Diese Formel ist die Anwendung der Steiner-Regel auf den dünnen Stab. | ![]() |
![]() |
Eine massive Kugel, die um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert. | ![]() |
![]() |
Eine Kugelschale, die um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert, für
eine Wandstärke ![]() |
![]() |
![]() |
Eine Kugelschale, die um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert, für
wesentliche Wandstärke mit ![]() |
![]() |
![]() |
Ein Quader, der um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert, die parallel zu seinen Kanten c liegt. | ![]() |
![]() |
Ein massiver Kegel, der um seine Achse rotiert. | ![]() |
![]() |
Ein Kegelmantel, der um seine Achse rotiert. Die Gleichheit mit dem Trägheitsmoment eines Vollzylinders kann man sich so vorstellen, dass man jeden Kegelmantel zu einer Kreisscheibe „plattdrücken“ kann, ohne sein Trägheitsmoment zu verändern. | ![]() |
![]() |
Ein massiver Kegelstumpf, der um seine Achse rotiert. | ![]() |
![]() |
Eine vierseitige, regelmäßige, massive Pyramide, die um ihre Symmetrieachse rotiert. | ![]() |
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Volltorus mit dem Radius
![]() ![]() ![]() ![]() |
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Beispielrechnung: Trägheitsmoment der homogenen Vollkugel
- Zum Verständnis dieses Abschnittes sind grundlegende Kenntnisse der Integralrechnung und Koordinatentransformation hilfreich.
Um das Trägheitsmoment einer massiven homogenen Kugel bezüglich einer
Drehachse durch den Kugelmittelpunkt zu berechnen, wird das im Abschnitt
„Berechnung“ angegebene Integral verwendet. Der Einfachheit halber soll der
Kugelmittelpunkt im Ursprung eines kartesischen
Koordinatensystems liegen und die Drehachse entlang der -Achse
verlaufen. Um das Integral
auszuwerten, empfiehlt es sich statt kartesischen lieber Kugelkoordinaten zu
verwenden. Beim Übergang müssen dabei die kartesischen Koordinaten x, y,
z und das Volumenelement dV durch die Kugelkoordinaten
ausgedrückt werden. Das geschieht mithilfe der Ersetzungsregeln
und der Funktionaldeterminanten
Einsetzen in den Ausdruck für das Trägheitsmoment liefert
Hier zeigt sich der Vorteil der Kugelkoordinaten: Die Integralgrenzen hängen
nicht voneinander ab. Die beiden Integrationen über r und
lassen sich daher elementar ausführen. Das verbleibende Integral in
kann durch partielle Integration mit
gelöst werden:
Für das Trägheitsmoment ergibt sich schließlich:
Messung
Zur Messung eines Trägheitsmoments eines Körpers verwendet man einen
Drehtisch. Dieser besteht aus einer Kreisscheibe, die um ihre Symmetrieachse
drehbar ist und einer Schneckenfeder (Spiralfeder). Sie bewirkt bei einer
Drehung der Scheibe ein rücktreibendes Drehmoment ,
das direkt proportional zum Auslenkwinkel
ist:
.
Die Proportionalitätskonstante
nennt man Direktionsmoment
oder Richtmoment.
Ihr Wert hängt von der Stärke der Feder ab. Die Scheibe führt nun harmonische
Schwingungen mit der Schwingungsdauer
,
aus, wobei
das Trägheitsmoment der Scheibe ist. Legt man nun zusätzlich einen Körper mit
bekanntem Trägheitsmoment
auf die Scheibe, so ändert sich die Schwingungsdauer zu
.
Aus der Differenz der Quadrate der jeweiligen Schwingungsdauer
lässt sich das Direktionsmoment
des Drehtisches bestimmen und aus obiger Formel für
erhält man dann das Trägheitsmoment
des Drehtisches. Legt man nun einen beliebigen Körper auf den Drehtisch, so kann
man sein Trägheitsmoment
bezüglich der Rotationsachse aus der gemessenen Schwingungsdauer
berechnen.


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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 30.05. 2021