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Nebendiagonale

Hauptdiagonale (rot) und Nebendiagonalen (blau) einer (4×4)-Matrix

In der Mathematik bestehen die Nebendiagonalen einer Matrix aus den Matrixelementen, die auf einer gedachten diagonalen Linie parallel zur Hauptdiagonale liegen. Gelegentlich werden allerdings auch die Gegendiagonalen einer Matrix als „Nebendiagonalen“ bezeichnet.

Definition

Die Nebendiagonalen einer Matrix

A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\ldots &a_{m,n}\end{pmatrix}}

bestehen aus denjenigen Einträgen a_{i,j}, deren Differenz aus Zeilen- und Spaltenindex einen konstanten Wert ungleich null ergibt, das heißt für die

j-i=k

mit k\neq 0 gilt. Eine Nebendiagonale besteht damit aus Matrixeinträgen, die auf einer von links oben nach rechts unten verlaufenden diagonalen Linie liegen. Die Zahl |k| gibt die Nummer der Nebendiagonale an. Die Diagonalen mit k=\pm 1 heißen erste Nebendiagonalen der Matrix (oder auch nur Nebendiagonalen), die Diagonalen mit k=\pm 2 zweite Nebendiagonalen der Matrix und so weiter. Die Diagonalen mit k<0 werden untere Nebendiagonalen und die Diagonalen mit k>0 werden obere Nebendiagonalen genannt. Die Diagonale mit k=0 heißt Hauptdiagonale der Matrix und wird nicht zu den Nebendiagonalen gezählt.

Beispiel

Die beiden ersten Nebendiagonalen der reellen Matrix

A={\begin{pmatrix}4&3&2&1\\5&4&3&2\\6&5&4&3\\7&6&5&4\end{pmatrix}}

bestehen aus den Elementen 3,3,3 und 5,5,5 die beiden zweiten Nebendiagonalen aus den Elementen 2,2 und 6,6 und die beiden dritten Nebendiagonalen aus den Elementen 1 und 7. Die Nebendiagonalen mit den kleineren Elementen sind jeweils die oberen Nebendiagonalen und die mit den größeren Elementen die unteren Nebendiagonalen.

Verwendung

Diagonalen und Gegendiagonalen bei der Regel von Sarrus

Matrizen mit speziellen Besetzungsmustern bezüglich ihrer Nebendiagonalen sind:

Matrizen mit einseitigen Besetzungsmustern bezüglich ihrer Nebendiagonalen sind:

Bei einer symmetrischen Matrix stimmen die Nebendiagonalen gleicher Nummer jeweils überein. Eine Matrix, bei der, wie in obigem Beispiel, die Einträge auf der Hauptdiagonalen und auf allen Nebendiagonalen konstant sind, wird Toeplitz-Matrix genannt.

Bei der Regel von Sarrus wird die Determinante einer (3\times 3)-Matrix mit Hilfe der Hauptdiagonalen, zweier Nebendiagonalen und dreier Gegendiagonalen der um die ersten beiden Spalten erweiterten Matrix berechnet. Die erste obere Nebendiagonale spielt auch in der jordanschen Normalform einer Matrix eine wichtige Rolle.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.12. 2020