Rand (Topologie)

Ein Gebiet (hellblau) und sein Rand (dunkelblau).

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist der Begriff Rand eine Abstraktion der anschaulichen Vorstellung einer Begrenzung eines Bereiches.

Definition

Definitionsgemäß ist der Rand einer Teilmenge U eines topologischen Raumes X die Differenzmenge zwischen Abschluss und Innerem von U. Der Rand einer Menge U wird üblicherweise mit \partial U bezeichnet, also:

(*) \partial U = \overline{U} \setminus U^\circ = \overline{U} \cap \overline{(X \setminus U)}.

Die Punkte aus \partial U werden Randpunkte genannt.

Erläuterung

Jeder Randpunkt von U ist auch Berührungspunkt von U und jeder Berührungspunkt von U ist Element von U oder Randpunkt von U. Die Berührungspunkte von U zusammen bilden den Abschluss von U. Es ist also

(**) \overline{U} = U \cup  \partial U\,.

Zu jeder Teilmenge U \subseteq X zerfällt der topologische Raum X in das Innere von U, den Rand von U und das Äußere von U:

 X   = U^\circ \; \dot{\cup} \; \partial U \; \dot{\cup}\; ({X \setminus U})^\circ\,.

Abgrenzung

Damit verwandte aber abweichende Randbegriffe gibt es in der algebraischen Topologie und in der Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten.

Eigenschaften

Beispiele

Randaxiome

Für einen topologischen Raum X ist das Bilden des Randes ein Mengenoperator auf \mathcal P(X) = \{ U \mid U \subseteq X \}, der Potenzmenge von X. Dieser erfüllt für U \subseteq X und V \subseteq X stets die folgenden vier Regeln, die sogenannten Randaxiome:

(R1)    U   \cap  V  \cap \partial (U \cap V)   = U   \cap  V  \cap (\partial U \cup \partial V )
(R2)    \partial U   = \partial (X  \setminus U)
(R3)    \partial { \partial U }   \subseteq  \partial U
(R4)    \partial{\emptyset}   = \emptyset

Durch die vier Regeln (R1) - (R4) ist die Struktur des topologischen Raum X eindeutig festgelegt. Der mittels (**) gegebene Mengenoperator auf \mathcal P(X) ist ein Abschlussoperator im Sinne der Kuratowskischen Hüllenaxiome und so in Verbindung mit (*) umkehrbar eindeutig mit dem Randoperator  U \mapsto  \partial U verknüpft.

Dabei gilt für das Mengensystem \mathcal \tau(X) , also die Menge der offenen Mengen von X:

\mathcal \tau(X) = \{U \subseteq X \mid {U \cap \partial U} = \emptyset\}
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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 08.04. 2018