Kompaktifizierung

Kompaktifizierung ist ein Oberbegriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Unter einer Kompaktifizierung versteht man dabei die Zuordnung kompakter Räume zu bestimmten topologischen Räumen, sodass der jeweils zugeordnete kompakte Raum, die Kompaktifizierung des ursprünglichen Raums, topologische Eigenschaften des ursprünglichen Raumes übernimmt. In vielen Fällen kann der ursprüngliche Raum als Teilraum des kompaktifizierten Raumes aufgefasst werden.

Übliche Forderungen

Beispiele

Im Allgemeinen gibt es für einen Raum viele verschiedene Kompaktifizierungen, die sich z.T. dramatisch unterscheiden.

Stone-Čech-Kompaktifizierung

Hauptartikel: Stone-Čech-Kompaktifizierung

Jeder vollständig reguläre Raum kann durch die Stone-Čech-Kompaktifizierung kompaktifiziert werden. Dafür gibt es eine Reihe verschiedener Konstruktionen und der entstehende Raum \beta X hat viele Eigenschaften, die ihn auszeichnen, z.B.

Einpunktkompaktifizierung (Alexandroff-Kompaktifizierung)

Hauptartikel: Alexandroff-Kompaktifizierung

Der russische Mathematiker Pawel Sergejewitsch Alexandrow hat eine Konstruktion angegeben, die für einen beliebigen topologischen Raum X zu einer kompakten Erweiterung führt:

Es wird ein einzelner neuer Punkt \omega zu X hinzugenommen. Die Topologie, also die offenen Teilmengen von X^{*}=X\cup \{\omega \}, besteht dann aus den gegebenen offenen Teilmengen von X und den Komplementen der abgeschlossenen, kompakten Mengen, die in X liegen.

Die Einbettung \varphi :X\rightarrow X^{*} wird Alexandroff-Erweiterung oder auch Alexandroff-Kompaktifizierung von X genannt. Sie hat die meisten der oben geforderten Eigenschaften. Dabei gilt aber: X^* ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn X lokalkompakt und Hausdorffsch ist. Insbesondere ist X^* für lokalkompakte Hausdorffräume normal (wie jeder kompakte Hausdorff-Raum) und somit nach dem Lemma von Urysohn vollständig regulär, was sich auf den ursprünglichen Raum X überträgt: Jeder lokalkompakte Hausdorff-Raum ist vollständig regulär.

Konkrete Beispiele

Fortsetzbarkeit stetiger Funktionen

Wichtig für die Anwendbarkeit von Kompaktifizierungen ist auch die Möglichkeit der Fortsetzbarkeit stetiger Funktionen auf dem zu kompaktifizierenden Raum auf die Kompaktifizierung. Etwa kann das Verhalten stetiger Funktionen auf kompakten Räumen einfacher zu beschreiben sein und sich dann auf die Einschränkung der Funktion auf den ursprünglichen Raum übertragen. Zudem können auch universelle Eigenschaften des Raumes unter Kompaktifizierung erhalten bleiben. Die Forderung nach Dichtheit des ursprünglichen Raums in der Kompaktifizierung garantiert, falls die Kompaktifizierung hausdorffsch ist, die Eindeutigkeit der Fortsetzung.

Auf einem lokalkompakten Hausdorffraum lassen sich genau die stetigen Funktionen stetig zu einer Funktion auf der Einpunktkompaktifizierung fortsetzen, die anschaulich gesprochen „im Unendlichen einen festen Wert anstreben“, bei stetigen reellen Funktionen zum Beispiel solche, die „im Unendlichen verschwinden“, also deren Wert ab gewissen Abständen vom Ursprung beliebig nah an die Null gerät, das sind die C0-Funktionen. Allgemein gesprochen: Das Bild der Filterbasis der Komplemente kompakter Mengen konvergiert. Im Falle der Stone-Čech-Kompaktifizierung eines Tichonow-Raums lassen sich alle stetigen Funktionen in einen kompakten Hausdorffraum auf den kompaktifizierten Raum stetig fortsetzen, so etwa auch im Falle reellwertiger Funktionen alle beschränkten stetigen Funktionen.

Die Stetigkeit von Funktionen in einen Raum bleibt erhalten, wenn man sie als Funktionen in den kompaktifizierten Raum auffasst, falls eine stetige und injektive Einbettung in den kompaktifizierten Raum existiert.

Anwendung

Viele Sätze der Topologie werden zunächst für kompakte Räume bewiesen, da hier durch die Endlichkeitsbedingung (in ihren verschiedenen Formulierungen) Beweise leichter zu führen sind. Als ein weiterer Schritt wird dann versucht, für andere Räume eine geeignete Kompaktifizierung zu konstruieren und zu sehen, unter welchen Bedingungen sich Ergebnisse übertragen lassen. Als Beispiel für eine Anwendung betrachten wir den Satz von Gelfand-Kolmogoroff:

Satz von Gelfand-Kolmogoroff

Dieser Satz ist ein Beispiel dafür, dass man direkt mit Hilfe der Stone-Čech-Kompaktifizierung Aussagen über einen Raum erhält.

\textstyle {{\mathcal  C}}(X) sei der Ring der stetigen Funktionen von X nach \mathbb {R} (mit punktweise definierter Addition und Multiplikation) und \textstyle {{\mathcal  C}}^{*}(X) der Unterring der beschränkten Funktionen.

Genauer gilt: in \textstyle {{\mathcal  C}}^{*}(X) gibt es für jedes maximale Ideal \textstyle I_{p} (genau) einen Punkt p\in \beta (X) mit \textstyle I_{p}=\left\{f\in {{\mathcal  C}}^{*}(X)|f^{{\beta }}(p)=0\right\}, wobei f^{{\beta }} die stetige Fortsetzung von f nach \beta X ist.

Für \textstyle {{\mathcal  C}}(X) lautet die entsprechende Beschreibung für maximale Ideale: \textstyle I_{p}=\left\{f\in {{\mathcal  C}}(X)|p\in cl_{{\beta X}}Z_{X}(f)\right\}, wobei Z_{X}(f)=\left\{x\in X|f(x)=0\right\} und cl_{{\beta X}} für den Abschluss in \beta X steht.

Verwandte Begriffe

Analog zur Vorstellung von der Kompaktifizierung kann man auch bei den meisten mit kompakt verwandten Begriffen vorgehen: Den Begriff Pseudokompaktifizierung erhält man beispielsweise, indem man in der Definition kompakt durch pseudokompakt ersetzt.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 03.06. 2020