Eberlein-kompakter Raum

Eberlein-kompakte Räume, benannt nach William Frederick Eberlein, werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um diejenigen kompakten Räume, die als schwach kompakte Teilmengen eines Banachraums auftreten.

Definition

Ein kompakter Hausdorffraum heißt Eberlein-kompakt, wenn er homöomorph zu einer schwach-kompakten Teilmenge eines Banachraums in der relativen schwachen Topologie ist.

Ein kompakter Hausdorffraum heißt gleichmäßig Eberlein-kompakt, wenn er homöomorph zu einer schwach-kompakten Teilmenge eines Hilbertraums in der relativen schwachen Topologie ist.

Da Hilberträume spezielle Banachräume sind, ist die gleichmäßige Eberlein-Kompaktheit eine stärkere Eigenschaft als die Eberlein-Kompaktheit.

Beispiele

{\displaystyle \varphi :[0,1]^{\infty }\rightarrow \{(\xi _{n})_{n}\in \ell ^{2};\,|\xi _{n}|\leq {\tfrac {1}{n}}{\mbox{ für alle }}n\}\subset \ell ^{2},\quad \varphi ((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }):=({\tfrac {2x_{n}-1}{n}})_{n\in \mathbb {N} }}
ist ein Homöomorphismus.

Eigenschaften

Äquivalente Charakterisierungen

Topologische Charakterisierung

Die Definition des Eberlein-kompakten Raums verwendet einen Banachraum. Die folgende topologische Charakterisierung, die keinen Bezug auf Banachräume nimmt, geht auf Haskell Rosenthal zurück:

Ein kompakter Hausdorffraum \Omega ist genau dann Eberlein-kompakt, wenn es eine Folge {\displaystyle ({\mathcal {G}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }} gibt, so dass gilt

Ersetzt man die dritte Bedingung durch

so erhält man eine Charakterisierung der metrisierbaren Eberlein-kompakten Räume.

Spezielle Banachräume

Man erhält dieselbe Klasse kompakter Räume, wenn man in der Definition der Eberlein-Kompaktheit die verwendeten Banachräume einschränkt. Folgende Aussagen über einen topologischen Raum \Omega sind äquivalent:

{\displaystyle c_{0}(\Gamma ):=\{(x_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }|\,\{\gamma \in \Gamma |\,|x_{\gamma }|>\varepsilon \}{\text{ ist endlich für jedes }}\varepsilon >0\,\}}
mit der Supremumsnorm ist.

Manche Autoren verwenden die zuletzt genannte Charakterisierung als Definition.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.06. 2021