Hilbertwürfel

Der Hilbertwürfel, auch Hilbertquader oder hilbertscher Fundamentalquader genannt, englisch Hilbert cube, ist ein nach dem Mathematiker David Hilbert benannter topologischer Raum, der den aus dem Anschauungsraum bekannten Würfel [0,1]^{3} auf unendlich viele Dimensionen verallgemeinert.

Definition

Der Hilbertwürfel W ist der Produktraum {\displaystyle [0,1]^{\aleph _{0}}}, versehen mit der Produkttopologie. Das bedeutet im Einzelnen:

Eigenschaften

d((\xi _{n})_{n},(\eta _{n})_{n}):=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac  {|\xi _{n}-\eta _{n}|}{2^{n}}}
gegeben.
D=\{(\xi _{n})_{n}\in W;\,\xi _{n}\in \mathbb{Q} {\mbox{ und }}\xi _{n}=0{\mbox{ für fast alle }}n\}
eine abzählbare dichte Teilmenge von W. Die Menge aller {\tfrac  {1}{m}}-Kugeln (bzgl. obiger Metrik) um die Punkte aus D ist dann eine abzählbare Basis.

Universelle Eigenschaft

Kompakte Räume mit abzählbarer Basis

Der Hilbertwürfel W ist nach obigen Eigenschaften ein kompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis. W ist universell bzgl. dieser Eigenschaften in dem Sinne, dass er von jedem solchen Raum eine Kopie enthält. Es gilt:

Polnische Räume

Auch polnische Räume lassen sich in den Hilbertwürfel einbetten. Es gilt:

Der Hilbertwürfel im l2

Eine homöomorphe Kopie des Hilbertwürfels findet sich im Hilbertraum \ell ^{2} der quadratsummierbaren Folgen. Definiere

{\tilde  {W}}:=\{(\xi _{n})_{n}\in \ell ^{2};\,|\xi _{n}|\leq {\tfrac  {1}{n}}{\mbox{ für alle }}n\}.

Dann ist \textstyle \varphi \colon W\rightarrow {\tilde  {W}},(\xi _{n})_{n}\mapsto ({\frac  {2\xi _{n}-1}{n}})_{n} ein Homöomorphismus, wenn man {\tilde  {W}} mit der Teilraumtopologie der Normtopologie des Hilbertraums \ell ^{2} versieht. Beachte, dass {\tilde  {W}} keine Nullumgebung in \ell ^{2} ist, denn {\tilde  {W}} enthält keine Normkugel. Ferner fallen auf {\tilde  {W}} die relative Normtopologie und die relative schwache Topologie zusammen.

Alternative Definitionen des Hilbertwürfels wären \textstyle W:=\prod _{{n=1}}^{\infty }[0,{\frac  {1}{2^{n}}}] oder \textstyle W:=\prod _{{n=1}}^{\infty }[-{\frac  {1}{n}},{\frac  {1}{n}}] oder \textstyle W:=\prod _{{n=1}}^{\infty }[0,{\frac  {1}{n}}], versehen mit der Produkttopologie. Bei einer solchen Definition wäre W selbst eine Teilmenge des Hilbertraums \ell ^{2}.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 15.02. 2020