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Schwach-*-Topologie

Die schwach-*-Topologie ist eine wichtige Topologie auf dem Dualraum eines normierten (oder allgemeiner lokalkonvexen) Raums. Die Bedeutung beruht u.a. auf dem Satz von Banach-Alaoglu, wonach die Einheitskugel im Dualraum bezüglich dieser Topologie kompakt ist. Die schwach-*-Topologie spielt eine wichtige Rolle in vielen funktionalanalytischen Konstruktionen, so zum Beispiel in der Gelfand-Transformation oder im Satz von Mackey-Arens, der diejenigen Topologien auf einem lokalkonvexen Raum beschreibt, die zum selben topologischen Dualraum wie die Ausgangstopologie führen.

Definition

Jedes Element x aus einem normierten oder allgemeiner lokalkonvexen \mathbb {K} -Vektorraum E (\mathbb {K} ist hier \mathbb {R} oder \mathbb {C} ) definiert durch die Formel {\hat  {x}}(f):=f(x) ein lineares Funktional auf dem topologischen Dualraum E'\,. Die schwach-*-Topologie ist definiert als die schwächste Topologie auf E'\,, die all diese Abbildungen {\hat  {x}}:E'\rightarrow {\mathbb  K} stetig macht.

Eine etwas konkretere Definition erhält man durch die Angabe einer Umgebungsbasis. Für f\in E' bilden die Mengen

U_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n},\epsilon ):=\{g\in E';|f(x_{j})-g(x_{j})|<\epsilon ,j=1,\ldots ,n\},

wobei x_{1},\ldots ,x_{n}\in E,n\in {{\mathbb  N}},\epsilon >0, eine Umgebungsbasis schwach-*-offener Mengen von f. Die schwach-*-Topologie wird oft mit w* bezeichnet, nach der englischen Bezeichnung weak-*-topology, oder mit \sigma (E\,',E), um die Herkunft als Initialtopologie anzudeuten.

Konvergenz

Eine Folge (f_{n})_{{n\in {{\mathbb  N}}}} in E^{\prime } (oder allgemeiner ein Netz (f_{i})_{i\in I}) konvergiert genau dann in der schwach-*-Topologie gegen f\in E^{\prime }, wenn

\lim _{{n\to \infty }}f_{n}(x)=f(x)\quad ({\text{bzw.}}\ \lim _{{i\in I}}f_{i}(x)=f(x))

für alle x\in E gilt. Daher nennt man die schwach-*-Topologie auch die Topologie der punktweisen Konvergenz.

Halbnormen

Der Dualraum E' ist mit der schwach-*-Topologie ein lokalkonvexer Raum. Die schwach-*-Topologie kann daher auch durch die Angabe eines Halbnormen-Systems definiert werden. Mit x_{1},\ldots ,x_{n}\in E,n\in {{\mathbb  N}} bilden die Halbnormen

p_{{x_{1},\ldots ,x_{n}}}(f):=\max\{|f(x_{1})|,\ldots ,|f(x_{n})|\},

ein solches System.

Produkttopologie

Es gilt \textstyle E'\subset \prod _{{x\in E}}{\mathbb  {K}}={\mathbb  {K}}^{E}, denn das kartesische Produkt auf der rechten Seite ist nichts anderes als die Menge aller Funktionen E\rightarrow {\mathbb  {K}}. Da die schwach-*-Topologie, wie oben beschrieben, die Topologie der punktweisen Konvergenz ist, kann man diese auch als Relativtopologie der Produkttopologie auf \textstyle \prod _{{x\in E}}{{\mathbb  K}} beschreiben.

Im Produktraum ist \textstyle \prod _{{x\in E}}\{\lambda \in {{\mathbb  K}};\,|\lambda |\leq r_{\lambda }\} nach dem Satz von Tychonoff für jede Wahl positiver reeller Zahlen r_{\lambda } eine kompakte Untermenge. Diese Tatsache ist ein wesentlicher Schritt im Beweis des Satzes von Banach-Alaoglu.

Eigenschaften

(E',\sigma (E',E))'\cong E.
Satz von Goldstine: \{x\in E;\|x\|\leq 1\} liegt \sigma (E'',E')-dicht in \{x''\in E'';\|x''\|\leq 1\}.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 21.12. 2020