Ext (Mathematik)

Ext ist ein Bifunktor, der in der homologischen Algebra eine zentrale Rolle spielt.

Definition

Sei ${\mathcal {A}}$ eine abelsche Kategorie, zum Beispiel die Kategorie der Moduln eines Ringes, die nach dem Einbettungssatz von Mitchell das Standardbeispiel ist. Zu zwei Objekten und aus ${\mathcal {A}}$ sei ${\mathcal {E}}$ die Klasse der kurzen exakten Sequenzen der Form

$0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0.$

Auf ${\mathcal {E}}$ wird nun eine Äquivalenzrelation definiert. Zwei exakte Sequenzen $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$ und $0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0$ sind äquivalent, wenn es einen Morphismus $g\colon Y\to Y'$ gibt, so dass das Diagramm

$\begin{matrix} 0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\ & & \downarrow \operatorname{id} && \downarrow g && \downarrow \operatorname{id}\\ 0 & \to & X & \to & Y' & \to & Z & \to & 0 \end{matrix}$

kommutiert. Dabei ist $\operatorname {id}$ der identische Morphismus.

Aus dem Fünferlemma folgt sofort, dass wenn es solch einen Morphismus gibt, dieser ein Isomorphismus sein muss. Die Klasse ${\mathcal {E}}$ modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird mit $\mathrm{Ext}(Z,X)$ bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.

Funktorialität

Morphismen in der abelschen Kategorie induzieren auf folgende Weise Morphismen zwischen den Ext-Gruppen, so dass $\mathrm{Ext}$ zu einem zweistelligen Funktor wird.

Zu $g\colon X\to X'$ und der Sequenz $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$ kann man den Push-out bilden:

$\begin{matrix} 0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\ & & \downarrow g && \downarrow && \\ 0 & \to & X' & \to & Y' \end{matrix}$

Wegen der universellen Eigenschaft des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

$\begin{matrix} 0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\ & & \downarrow g && \downarrow && \downarrow \operatorname{id} \\ 0 & \to & X' & \to & Y' & \to & Z & \to & 0 \end{matrix}$

Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Äquivalenzklasse somit ein Element in $\mathrm{Ext}(Z,X')$ .

Bildet man die Äquivalenzklasse von $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$ auf die Äquivalenzklasse von $0\rightarrow X'\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0$ ab, so erhält man einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus $\mathrm{Ext}(Z,X)\rightarrow \mathrm{Ext}(Z,X')$ .

Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z. Zu $g\colon Z'\to Z$ und der Sequenz $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$ kann man folgenden Pull-back bilden:

$\begin{matrix} & & & & Y' & \to & Z' & \to & 0\\ & & && \downarrow && \downarrow g\\ 0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0 \end{matrix}.$

Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:

$\begin{matrix} 0 & \to & X & \to & Y' & \to & Z' & \to & 0\\ & & \downarrow \operatorname{id} && \downarrow && \downarrow g \\ 0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0 \end{matrix}$

Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und definiert somit ein Element in $\mathrm{Ext}(Z',X)$ .

Bildet man die Äquivalenzklasse von $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$ auf die Äquivalenzklasse von $0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z'\rightarrow 0$ ab, so erhält man wieder einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus $\mathrm{Ext}(Z,X)\rightarrow \mathrm{Ext}(Z',X)$ .

Ext als Ableitung des Hom-Funktors

Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die abgeleiteten Funktoren von Hom. Die oben definierte Konstruktion kann mit der ersten Rechtsableitung des Hom-Funktors identifiziert werden.

Genauer betrachtet man eine abelsche Kategorie mit ausreichend vielen projektiven Objekten (d.h. jedes Objekt ist Quotient eines projektiven Objektes) den kontravarianten Funktor $\mathrm{Hom}(-,X)$ und definiert

$\mathrm{Ext}^n(Z,X) := R_n\mathrm{Hom}(-,X)(Z)$ ,

das heißt man bildet die -te Rechtsableitung von $\mathrm{Hom}(-,X)$ und wendet den so entstandenen Funktor auf an.

Etwas konkreter bedeutet das folgendes: Es sei $n\geq 1$ und

$\begin{array}{ccccc} \ldots \rightarrow & P_n & \rightarrow & P_{n-1} & \rightarrow \ldots \rightarrow Z \rightarrow 0 \\ & \lambda_n \downarrow & \nearrow \kappa_n & \\ & K_n \end{array}$

eine projektive Auflösung von mit einem Epimorphismus $\lambda_n:P_n\rightarrow K_n$ und einem Monomorphismus $\kappa_n:K_n \rightarrow P_{n-1}$ . Weiter sei $\kappa_n^* = \mathrm{Hom}(\kappa_n,X)$ der induzierte Homomorphismus

$\kappa_n^*: \mathrm{Hom}(P_{n-1},X)\rightarrow \mathrm{Hom}(K_n,X),\, f\mapsto f\circ \kappa_n$ .

Dann ist

$\mathrm{Ext}^n(Z,X) \cong \mathrm{coker}(\kappa_n^*) = \mathrm{Hom}(K_n,X)/\kappa_n^*( \mathrm{Hom}(P_{n-1},X))$ .

Die Elemente aus $\mathrm{Ext}^n(Z,X)$ sind also gewisse Äquivalenzklassen von Elementen aus $\mathrm{Hom}(K_n,X)$ .

Schließlich sei darauf hingewiesen, dass man die Rollen von und auch vertauschen kann, man erhält

$\mathrm{Ext}^n(Z,X) \cong R_n\mathrm{Hom}(Z,-)(X)$ .

Zusammenhang zwischen Ext und Ext¹

In diesem Abschnitt soll erläutert werden, wie die oben definierten Konstrukte $\mathrm{Ext}$ und $\mathrm{Ext}^1$ zusammenhängen. Wir konstruieren eine Abbildung $\mathrm{Ext}(Z,X) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(Z,X)$ .

Sei $0 \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz, die ein Element aus $\mathrm{Ext}(Z,X)$ definiert. Weiter sei $0 \rightarrow K \rightarrow P \rightarrow Z \rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz mit projektivem . Mittels der Projektivität von kann man ein kommutatives Diagramm

$\begin{array}{ccccccc} 0 \rightarrow & K & \rightarrow & P & \rightarrow & Z & \rightarrow 0 \\ & \downarrow \psi & & \downarrow \varphi & & \Vert \\ 0 \rightarrow & X & \rightarrow & Y & \rightarrow & Z & \rightarrow 0 \end{array}$

konstruieren. Dann ist $\psi \in \mathrm{Hom}(K,X)$ ein Homomorphismus, dessen Äquivalenzklasse nach obiger Darstellung von $\mathrm{Ext}^n(Z,X)$ ein Element aus $\mathrm{Ext}^1(Z,X)$ definiert.

Bildet man die Äquivalenzklasse von $0 \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow 0$ in $\mathrm{Ext}(Z,X)$ auf die Äquivalenzklasse von $\psi$ in $\mathrm{Ext}^1(Z,X)$ ab, so erhält man eine wohldefinierte Abbildung $\mathrm{Ext}(Z,X) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(Z,X)$ , von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.

Daher kann man $\mathrm{Ext}$ mit $\mathrm{Ext}^1$ identifizieren, das heißt $\mathrm{Ext}$ kann in diesem Sinne als erste Rechtsableitung des $\mathrm{Hom}$ -Funktors definiert werden.

Lange exakte Sequenz

Der Hom-Funktor ist linksexakt, das heißt für eine kurze exakte Sequenz

$0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$

und ein weiteres Objekt (Modul) hat man eine exakte Sequenz

$0\rightarrow \mathrm{Hom}(A,X) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Y) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Z)$ ,

und diese lässt sich im Allgemeinen nicht exakt mit 0 fortsetzen. Wegen der Linksexaktheit stimmt die 0-te Ableitung des Hom-Funktors mit Hom überein, das heißt, wenn man obige Definition von $\mathrm{Ext}^n$ auf n=0 ausdehnt, so hat man $\mathrm{Ext}^0 = \mathrm{Hom}$ . Die lange exakte Sequenz für abgeleitete additive Funktoren liefert daher die folgende exakte Sequenz

$0\rightarrow \mathrm{Hom}(A,X) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Y) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Z)$

$\rightarrow \mathrm{Ext}^1(A,X) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(A,Y) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(A,Z) \rightarrow \mathrm{Ext}^2(A,X) \rightarrow \ldots$ .

Analog erhält man eine lange exakte Sequenz

$0\rightarrow \mathrm{Hom}(Z,A) \rightarrow \mathrm{Hom}(Y,A) \rightarrow \mathrm{Hom}(X,A)$

$\rightarrow \mathrm{Ext}^1(Z,A) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(Y,A) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(X,A) \rightarrow \mathrm{Ext}^2(Z,A) \rightarrow \ldots$ .

In diesem Sinne schließen die Ext-Funktoren die durch die fehlende Exaktheit des Hom-Funktors entstandene Lücke.

Basierend auf einem Artikel in: