Idealoperator

In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eine Teilmenge einer algebraischen Struktur mit mindestens einer multiplikativen zweistelligen Operation, die abgeschlossen bezüglich Produkten mit Elementen aus der gesamten Struktur ist.

Die Ideale gleichen Typs auf einer gegebenen algebraischen Struktur bilden stets ein Hüllensystem, das Idealsystem genannt wird. Zu jedem Idealsystem ist immer ein entsprechender Hüllenoperator gegeben (und umgekehrt), das ist der zugehörige Idealoperator.

Zur einfacheren Darstellung wird hier nur der kommutative Fall beschrieben. Verzichtet man auf die Kommutativität der Multiplikation, dann handelt es sich im Folgenden jedoch um Linksideale, und vertauscht man bei jedem Produkt den linken und den rechten Faktor, ergeben sich entsprechend Rechtsideale. Zweiseitige Ideale oder einfach nur Ideale sind sowohl Links- als auch Rechtsideale. Bei Kommutativität besteht kein Unterschied zwischen diesen drei Arten von Idealen.

Ringideale

Zahlentheoretische Untersuchungen von Zahlenbereichen, bei denen eine eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen nicht mehr gegeben war, führten zur Entwicklung der „klassischen“ Idealtheorie für kommutative Ringe.

Definition

Ist (R,+,\cdot ) ein Ring, dann ist ein (dedekindsches) Ideal oder d-Ideal die Trägermenge A_{d}\subseteq R einer Untergruppe von (R,+), für die gilt:

\forall r\in R\;\forall a\in A_{d}:
r\cdot a\in A_{d}.

Eigenschaften

Bemerkungen

Allgemeine Idealoperatoren

Da in der Regel nur die jeweilige assoziative zweistellige Operation entscheidend für die Faktorisierung ist (der nicht assoziative Fall wird im Folgenden nicht behandelt), ist es für eine allgemeine Idealtheorie ausreichend, Halbgruppen zu betrachten:

Gegeben sei im Folgenden stets eine kommutative multiplikative Halbgruppe (S,\cdot ), und es sei

\cdot :{\mathfrak  P}(S)\times {\mathfrak  P}(S)\to {\mathfrak  P}(S),(A,B)\mapsto A\cdot B:=\{a\cdot b\mid a\in A,b\in B\},

die Komplexmultiplikation über (S,\cdot ), wobei {\mathfrak  P}(S):=\{A\mid A\subseteq S\} die Potenzmenge von S ist.

{\bigl (}{\mathfrak  P}(S),\cup ,\cap ,\cdot {\bigr )} bildet dann einen unter anderem kommutativen, assoziativen, vollständigen multiplikativen Verband mit einem Nullelement \emptyset .

Definition

Es soll nun

(\;)_{{x^{*}}}:{\mathfrak  P}(S)\to {\mathfrak  P}(S),A\mapsto (A)_{{x^{*}}},

ein Hüllenoperator auf S sein, mit der Eigenschaft, dass

\forall A\in {\mathfrak  P}(S):
S\cdot (A)_{{x^{*}}}\subseteq (A)_{{x^{*}}}.

(\;)_{{x^{*}}} wird dann ein x^{*}-Idealoperator oder kurz x^{*}-Operator auf (S,\cdot ) genannt, {\mathfrak  I}_{{x^{*}}}:=\{(A)_{{x^{*}}}\mid A\in {\mathfrak  P}(S)\} ist das x^{*}-Idealsystem bzw. x^{*}-System zu (\;)_{{x^{*}}}, ein A_{{x^{*}}}\in {\mathfrak  I}_{{x^{*}}} heißt x^{*}-Ideal und (A)_{{x^{*}}} ist das von A\in {\mathfrak  P}(S) erzeugte x^{*}-Ideal. (a_{1},\cdots ,a_{n})_{{x^{*}}}:=(\{a_{1},\cdots ,a_{n}\})_{{x^{*}}} bezeichnet das von {\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}\in S,n\in \mathbb {N} ,} erzeugte x^{*}-Ideal und (a)_{{x^{*}}} ist das von a\in S erzeugte x^{*}-Hauptideal.

Bemerkung

Idealverbände

Auf {\mathfrak  I}_{{x^{*}}} sind zwei zweistellige Operationen

\vee _{{x^{*}}}:{\mathfrak  I}_{{x^{*}}}\times {\mathfrak  I}_{{x^{*}}}\to {\mathfrak  I}_{{x^{*}}},(A_{{x^{*}}},B_{{x^{*}}})\mapsto A_{{x^{*}}}\vee _{{x^{*}}}B_{{x^{*}}}:=(A_{{x^{*}}}\cup B_{{x^{*}}})_{{x^{*}}},
\wedge _{{x^{*}}}:{\mathfrak  I}_{{x^{*}}}\times {\mathfrak  I}_{{x^{*}}}\to {\mathfrak  I}_{{x^{*}}},(A_{{x^{*}}},B_{{x^{*}}})\mapsto A_{{x^{*}}}\wedge _{{x^{*}}}B_{{x^{*}}}:=(A_{{x^{*}}}\cap B_{{x^{*}}})_{{x^{*}}},

gegeben, so dass ({\mathfrak  I}_{{x^{*}}},\vee _{{x^{*}}},\wedge _{{x^{*}}}) einen vollständigen Verband bildet, den Verband der x^{*}-Ideale von (S,\cdot ). Dabei ist \vee _{{x^{*}}} die x^{*}-Idealverbindung, \wedge _{{x^{*}}} der x^{*}-Idealdurchschnitt.

Wie für alle Hüllensysteme gilt auch für jedes x^{*}-Idealsystem:

\forall A,B\in {\mathfrak  P}(S):
A_{{x^{*}}}\wedge _{{x^{*}}}B_{{x^{*}}}=A_{{x^{*}}}\cap B_{{x^{*}}}.

Algebraische Idealoperatoren

({\mathfrak  I}_{{x^{*}}},\vee _{{x^{*}}},\wedge _{{x^{*}}}) ist genau dann algebraisch, wenn (\;)_{{x^{*}}} algebraisch ist, also

\forall a\in S\;\forall A\in {\mathfrak  P}(S):
A\neq \emptyset und {\displaystyle a\in (A)_{x^{*}}\implies \exists a_{1},\cdots ,a_{n}\in A;n\in \mathbb {N} :a\in (a_{1},\cdots ,a_{n})_{x^{*}}.}

Bezeichnet |A| die Mächtigkeit der Menge A, so existiert mit

{\displaystyle (\;)_{x_{s}^{*}}:{\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(S),A\mapsto (A)_{x_{s}^{*}}:=\bigcup \{(N)_{x^{*}}\mid N\subseteq A,|N|\in \mathbb {N} _{0}\},}

immer ein algebraischer x^{*}-Idealoperator zu (\;)_{{x^{*}}}.

x-Idealoperatoren

Die x^{*}-Idealmultiplikation

\cdot _{{x^{*}}}:{\mathfrak  I}_{{x^{*}}}\times {\mathfrak  I}_{{x^{*}}}\to {\mathfrak  I}_{{x^{*}}},(A_{{x^{*}}},B_{{x^{*}}})\mapsto A_{{x^{*}}}\cdot _{{x^{*}}}B_{{x^{*}}}:=(A_{{x^{*}}}\cdot B_{{x^{*}}})_{{x^{*}}},

besitzt zwar die für Ideale charakteristische Eigenschaft

\forall A_{{x^{*}}},B_{{x^{*}}}\in {\mathfrak  I}_{{x^{*}}}:
B_{{x^{*}}}\cdot _{{x^{*}}}A_{{x^{*}}}\subseteq A_{{x^{*}}},

sie bietet aber im Allgemeinen noch nicht genügend Eigenschaften, um (S,\cdot ) gut untersuchen zu können. Als gut geeignet für eine allgemeine Idealtheorie hat sich hingegen die folgende Klasse von x^{*}-Idealoperatoren erwiesen.

Definition

So genannte x-Idealoperatoren bzw. x-Operatoren (\;)_{x} sind x^{*}-Idealoperatoren, bei denen Translationen

\forall t\in S:
{\displaystyle \vartheta _{t}\colon S\to S,a\mapsto \vartheta _{t}(a):=a\cdot t,}

stetig sind wie bei topologischen Abschlussoperatoren:

\forall t\in S\;\forall A\in {\mathfrak  P}(S):
\vartheta _{{t}}{\bigl (}(A)_{x}{\bigr )}\subseteq {\bigl (}\vartheta _{{t}}(A){\bigr )}_{x}

mit \vartheta _{{t}}(A):=\{\vartheta _{{t}}(a)\mid a\in A\}=A\cdot \{t\} für jedes t\in S und alle A\in {\mathfrak  P}(S).

Eigenschaften

\forall A,B\in {\mathfrak  P}(S):
(A)_{x}\cdot B\subseteq (A\cdot B)_{x}.
\forall A,B\in {\mathfrak  P}(S):
(A)_{x}\cdot _{x}(B)_{x}=(A\cdot B)_{x}.

Bemerkungen

r-Idealoperatoren

Definition

Ein r-Idealoperator (\;)_{r} auf (S,\cdot ) ist ein x-Idealoperator, der zusätzlich translationsabgeschlossenen ist, also

\forall t\in S\;\forall A_{r}\in {\mathfrak  I}_{r}:
\vartheta _{{t}}(A_{r})\in {\mathfrak  I}_{r},

und für den auch noch gilt:

\forall a\in S:
(a)_{r}=\{a\}\cup \vartheta _{{a}}(S).

Eigenschaften

\forall t\in S\;\forall A\in {\mathfrak  P}(S):
\vartheta _{{t}}{\bigl (}(A)_{x}{\bigr )}={\bigl (}\vartheta _{{t}}(A){\bigr )}_{x}.
\forall a\in S:
\left(1\right)_{x}=S und (a)_{x}=\vartheta _{{a}}(S)=S\cdot \{a\}.
\forall a\in S\;\forall A_{r}\in {\mathfrak  I}_{r}:
A_{r}\subset (a)_{r}\iff \exists B_{r}\in {\mathfrak  I}_{r}:B_{r}\cdot _{r}(a)_{r}=A_{r}\neq (a)_{r}.
\forall a\in S\;\forall A_{r},B_{r}\in {\mathfrak  I}_{r}:
A_{r}\cdot _{r}(a)_{r}=B_{r}\cdot _{r}(a)_{r}\implies A_{r}=B_{r},
wenn a\in S in (S,\cdot ) kürzbar ist.

Bemerkung

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 11.06. 2020