Maximales Ideal

Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra.

Definition

Es sei R ein Ring. Dann heißt ein Ideal {\mathfrak  {m}}\subsetneq R maximal, wenn \mathfrak{m} ein maximales Element ist in der durch die (mengentheoretische) Inklusion \subseteq halbgeordneten Menge aller echten Ideale. D.h. für jedes echte Ideal {\mathfrak  {a}}\subsetneq R gilt:

Aus {\mathfrak  {a}}\supseteq {\mathfrak  {m}} folgt {\mathfrak  {a}}={\mathfrak  {m}}.

Mit anderen Worten:

Ein echtes Ideal {\mathfrak  {m}}\subsetneq R wird maximal genannt, wenn es kein anderes echtes Ideal von R gibt, das \mathfrak{m} ganz enthält.

Bemerkungen

Beispiele

{\mathrm  {ev}}_{0}\colon C({\mathbb  R})\rightarrow {\mathbb  {R}},\quad f\mapsto f(0).
Mit anderen Worten: diejenige Abbildung die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von {\mathrm  {ev}}_{0} ist \mathbb {R} , also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit f(0)=0, ein maximales Ideal.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 04.09. 2019