Lokaler Ring

Ein lokaler Ring ist im mathematischen Gebiet der Ringtheorie ein Ring, in dem es genau ein maximales Links- oder Rechtsideal gibt. Lokale Ringe spielen in der algebraischen Geometrie eine wichtige Rolle, um das „lokale Verhalten“ von Funktionen auf algebraischen Varietäten und Mannigfaltigkeiten zu beschreiben.

Das Konzept des lokalen Ringes wurde 1938 von Wolfgang Krull unter dem Namen „Stellenringe“ eingeführt.

Definition

Ein Ring R mit 1 heißt lokal, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

Einige Autoren verlangen, dass ein lokaler Ring zusätzlich noethersch sein muss, und nennen einen nichtnoetherschen Ring mit genau einem maximalen Linksideal quasilokal. Hier lassen wir diese Zusatzforderung weg und sprechen ggf. explizit von noetherschen lokalen Ringen.

Eigenschaften

Ist R lokal, dann

  1. stimmt das maximale Linksideal mit dem maximalen Rechtsideal und mit dem Jacobson-Radikal J überein.
  2. ist R/J ein Schiefkörper (der als der Restklassenkörper bezeichnet wird),
  3. besitzt R nur die trivialen Idempotente {\displaystyle 0} und 1. Damit ist R als R-Modul unzerlegbar.
  4. ist R auch semiperfekt.

Kommutativer Fall

Ist der Ring R kommutativ mit 1, dann sind zusätzlich die folgenden Bedingungen äquivalent zur Lokalität:

Für die Äquivalenz der beiden letztgenannten Bedingungen wird hier ein Beweis gegeben:

Beispiele

Lokale Ringe in der Algebra

Keime stetiger Funktionen

Sei x ein Punkt in einer Mannigfaltigkeit M, z.B. M=\mathbb{R} . Auf der Menge der auf (beliebigen) Umgebungen von x definierten stetigen Funktionen definieren wir eine Äquivalenzrelation dadurch, dass zwei auf (evtl. unterschiedlichen) Umgebungen definierte Funktionen äquivalent sein sollen, wenn es eine Umgebung von x gibt, auf der beide Funktionen definiert sind und übereinstimmen. Die Äquivalenzklassen dieser Relation heißen Keime. Addition und Multiplikation von Keimen sind wohldefiniert. Die Menge der Keime stetiger Funktionen in x bildet einen lokalen Ring, dessen Maximalideal die Keime der in x verschwindenden stetigen Funktionen bilden.

Lokale Ringe einer algebraischen Varietät

Sei V eine algebraische Varietät und x\in V. Der lokale Ring {{\mathcal  {O}}}_{x} ist definiert als die Menge der Keime regulärer Funktionen in x. Er ist ein lokaler Ring, dessen Maximalideal die Keime der in x verschwindenden regulären Funktionen bilden. Man erhält ihn als Lokalisierung des Koordinatenrings k\left[V\right] am zu x gehörenden Maximalideal {{\mathfrak  {m}}}_{x}:

{\mathcal O}_x=k\left[V\right]_{{\mathfrak m}_x}.

Die lokale Dimension von V in x ist definiert als die Krull-Dimension des lokalen Ringes {{\mathcal  {O}}}_{x}:

\dim _{x}V:=\dim {{\mathcal  {O}}}_{x}.

Lokalisierung von Ringen

Hauptartikel: Lokalisierung (Algebra)

Sei R ein beliebiger kommutativer Ring mit 1 und S eine unter Multiplikation abgeschlossene Teilmenge mit 1\in S,\ 0\not \in S, dann heißt

S^{{-1}}R:=\left\{{\frac  {r}{s}}:r\in R,s\in S\right\}

die Lokalisierung von R in S.

Wenn S:=R-p das Komplement eines Primideals p\subset R ist, dann ist S^{-1}R ein lokaler Ring und wird mit R_p notiert.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 20.10. 2021