Noetherscher Ring

In der Algebra werden bestimmte Strukturen (Ringe und Moduln) noethersch genannt, wenn sie keine unendliche Schachtelung von immer größeren Unterstrukturen enthalten können. Der Begriff ist nach der Mathematikerin Emmy Noether benannt.

Noethersche Moduln

Es sei ein unitärer Ring (d. h. ein Ring mit Einselement). Ein -Linksmodul heißt noethersch, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

Jeder Untermodul ist endlich erzeugt.
(Aufsteigende Kettenbedingung) Jede unendliche aufsteigende Kette

$N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq N_{3}\subseteq \dotsb$

von Untermoduln wird stationär, d.h., es gibt einen Index , so dass

$N_{n}=N_{n+1}=N_{n+2}=\dotsb$

(Maximalbedingung für Untermoduln) Jede nichtleere Menge von Untermoduln von hat ein maximales Element bezüglich Inklusion.

Beispiele

Jeder endliche Modul ist noethersch.
Jeder endlich erzeugte Modul über einem noetherschen Ring ist noethersch.
Jede endliche direkte Summe noetherscher Moduln ist noethersch.
$\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]$ ist nicht noethersch als $\mathbb {Z}$ -Modul.

Eigenschaften

Jeder surjektive Endomorphismus ist ein Automorphismus.
Für eine kurze exakte Sequenz $\quad 0\rightarrow M_{1}\rightarrow M_{2}\rightarrow M_{3}\rightarrow 0$ sind äquivalent:

$M_{2}$ ist noethersch.
$M_{1},M_{3}$ sind noethersch.

Ist ein Vektorraum, so ist genau dann noethersch, wenn er endlich-dimensional ist. In diesem Fall ist der Modul auch artinsch.
Ist linksnoethersch, das Jacobson-Radikal $J=\operatorname {Rad} (R)$ nilpotent und halbeinfach, dann ist auch linksartinsch.
Über einem noetherschen Ring ist jeder endlich erzeugte Modul auch endlich präsentiert (die Umkehrung gilt immer).
Die endlich erzeugten Moduln über einem noetherschen Ring bilden eine abelsche Kategorie; die Voraussetzung, dass der Ring noethersch ist, ist dabei essentiell.

Noethersche Ringe

Ein Ring heißt

linksnoethersch, wenn er als R-Linksmodul noethersch ist;
rechtsnoethersch, wenn er als R-Rechtsmodul noethersch ist;
noethersch, wenn er links- und rechtsnoethersch ist.

Bei kommutativen Ringen sind alle drei Begriffe identisch und äquivalent dazu, dass alle Ideale in R endlich erzeugt sind.

Beispiele

Artinsche Ringe sind noethersch.
$\mathbb {Z}$ ist noethersch aber nicht artinsch.
Quotienten und Lokalisierungen noetherscher Ringe sind noethersch.
Hauptidealringe oder allgemeiner Dedekindringe sind noethersch.
Ist ein noetherscher Ring, so ist auch der Polynomring noethersch (Hilbertscher Basissatz).
Daraus folgt, dass allgemein endlich erzeugte Algebren über einem noetherschen Ring wieder noethersch sind. Insbesondere sind endlich erzeugte Algebren über Körpern noethersch.
Der Polynomring $\mathbb {C} [X_{1},X_{2},\ldots ]$ in unendlich vielen Unbestimmten ist nicht noethersch, da das Ideal, das von allen Unbestimmten erzeugt wird, nicht endlich erzeugt ist.
Der Matrizenring ${\begin{pmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{pmatrix}}$ ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.

Eigenschaften

Ist in einem Ring das Nullideal Produkt maximaler Ideale, so ist der Ring genau dann noethersch, wenn er artinsch ist.
In einem noetherschen Ring gibt es nur endlich viele minimale Primideale.

Siehe auch

Noetherscher Raum

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de