Artinscher Modul

Der Begriff artinscher Ring oder artinscher Modul (nach Emil Artin) beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine gewisse Endlichkeitsbedingung. Der Begriff weist einige Analogien zum Begriff des noetherschen Rings auf, die beiden Begriffe sind aber nicht auf ganz einfache Weise miteinander verbunden. Zum Beispiel ist jeder artinsche Ring noethersch, aber nicht umgekehrt.

Artinscher Modul

Definition

Ein Modul M über einem Ring R mit 1 heißt artinsch, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

 M_1\supseteq M_2\supseteq M_3\supseteq\dotsb gibt es einen Index n, so dass für alle i>n gilt: M_i = M_n.

Beispiele

Eigenschaften

  1. M_{2} ist artinsch
  2.  M_1,M_3 sind artinsch

Artinscher Ring

Definition

Ein Ring R heißt linksartinsch, wenn R artinsch als R-Linksmodul ist.

Ein Ring R heißt rechtsartinsch, wenn R artinsch als R-Rechtsmodul ist.

Ein Ring R heißt artinsch, wenn R links- und rechtsartinsch ist.

(Man beachte: Die Untermoduln sind dann gerade die (Links- / Rechts-)Ideale.)

Beispiele

Eigenschaften

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 20.10. 2021