Krulldimension

Die Krulldimension eines topologischen Raums ist ein nach Wolfgang Krull benannter topologischer Dimensionsbegriff. Dieser wird durch algebraische Untersuchungen von Ringen in der algebraischen Geometrie motiviert und steht in enger Beziehung zur Dimension eines Ringes.

Definition

Sei X ein topologischer Raum. Die Krulldimension (oder auch kombinatorische Dimension) ist das Supremum aller Längen n von Ketten

 X_0 \subsetneqq X_1 \subsetneqq \ldots \subsetneqq X_n

von nichtleeren, abgeschlossenen, irreduziblen Teilmengen. Diese wird mit \dim X bezeichnet.

Bezug zur Ringtheorie

Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so betrachtet man auf dem Spektrum {\displaystyle \operatorname {Spec} (R)} üblicherweise die Zariski-Topologie. Ordnet man einem Primideal die Menge aller es umfassenden Primideale zu, so erhält man eine bijektive Beziehung zwischen {\displaystyle \operatorname {Spec} (R)} und der Menge aller nichtleeren abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen von {\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}. Daher ist die in der kommutativen Algebra betrachtete Dimension eines Ringes, die über die maximale Länge von Primidealketten definiert wird, nichts anderes als die oben definierte Krulldimension seines Spektrums.

Die Krulldimension eines noetherschen Rings A hat die folgenden Eigenschaften:

Beispiele

{\displaystyle \quad \dim(R[X_{1},\ldots ,X_{n}])=\dim(R)+n}

Vergleich mit anderen Dimensionsbegriffen

Da alle Hausdorffräume die Krulldimension 0 haben, stimmt diese nicht mit der Lebesgue'schen Überdeckungsdimension oder den induktiven Dimensionen überein. Dass die Dimension des {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} im obigen Beispiel mit der Lebesgue'schen Überdeckungsdimension übereinstimmt ist nur richtig, weil man im ersten Fall die Zariski-Topologie und im zweiten Fall die echt feinere euklidischen Topologie betrachtet.

Ist X ein noetherscher Raum mit Krulldimension \leq n, so ist auch die kohomologische Dimension \leq n.

Kodimension

Ist Y\subset X eine abgeschlossene, irreduzible Teilmenge, so nennt man die maximale Länge aller Ketten

Y=X_0\subsetneqq X_1 \subsetneqq \ldots \subsetneqq X_n

von nichtleeren, abgeschlossenen, irreduziblen Teilmengen die Kodimension von Y und bezeichnet sie mit {\displaystyle \operatorname {codim} _{X}Y}. Für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge A\subset X definiert man

{\displaystyle \operatorname {codim} _{X}A} als das Infimum der {\displaystyle \operatorname {codim} _{X}Y}, wobei Y die irreduziblen Komponenten von A durchläuft.

Eigenschaften

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 17.08. 2022