Einheitengruppe

In der Mathematik ist die Einheitengruppe eines Rings mit Einselement die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente. Sie ist mit der Ringmultiplikation eine Gruppe.

Die Einheitengruppen von (unitären) assoziativen Algebren können als eine Verallgemeinerung der allgemeinen linearen Gruppe angesehen werden.

Definition

Sei R ein Ring mit 1. Die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente (Einheiten) von R bildet mit der Ringmultiplikation eine Gruppe. Sie wird Einheitengruppe von R genannt. Man schreibt die Einheitengruppe meist als R^* oder als R^\times. Die Definition lässt sich auf Monoide übertragen.

Eigenschaften und verwandte Begriffe

Die Einheitengruppe eines Körpers

Die Einheitengruppe K^* = \{ x \in K \mid x \neq 0 \} eines Körpers K heißt multiplikative Gruppe. Sie ist isomorph zur linearen algebraischen Gruppe

 \mathbb{G}_m(K) := \left\{
  \begin{pmatrix}
    x & 0 \\
    0 & ~x^{-1}
  \end{pmatrix} \; \Bigg| \; x \in K^* \right\} \subseteq \text{GL}_2(K).

Jede endliche multiplikative Untergruppe eines kommutativen Körpers K ist zyklisch (s. Einheitswurzel).

Beispiele

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 04.09. 2019