Algebraische Gruppe
Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.
Definition
Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper, d.h. eine Varietät über einem Körper zusammen mit
- einem Morphismus (Multiplikation)
- einem Morphismus (inverses Element)
- und einem ausgezeichneten Punkt (neutrales Element),
so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- Assoziativgesetz: ;
- neutrales Element: ;
- inverses Element: ; dabei ist die Inklusion der Diagonale und der Strukturmorphismus.
Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass für jedes -Schema auf der Menge der -wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.
Beispiele
- Die additive Gruppe : mit der Addition als Gruppenstruktur. Insbesondere für ist die affine Gerade mit der Addition.
- Die multiplikative Gruppe : mit der Multiplikation als Gruppenstruktur. Insbesondere für ist die offene Teilmenge mit der Multiplikation.
- Die allgemeine lineare Gruppe : ; dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren -Matrizen mit Einträgen im Ring . kann mit identifiziert werden.
- Der Kern eines Morphismus algebraischer Gruppen ist wieder eine algebraische Gruppe. Zum Beispiel ist eine algebraische Gruppe.
- Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.
- Zariski-abgeschlossene Untergruppen algebraischer Gruppen sind wieder algebraische Gruppen. Zariski-abgeschlossene Untergruppen von werden als lineare algebraische Gruppen bezeichnet. Wenn eine algebraische Gruppe eine affine Varietät ist, dann ist sie eine lineare algebraische Gruppe.
- Unipotente algebraische Gruppen.
Satz von Chevalley
Jede algebraische Gruppe über einem Körper der Charakteristik 0 ist (auf eindeutige Weise) eine Erweiterung einer abelschen Varietät durch eine lineare algebraische Gruppe. Das heißt zu jeder algebraischen Gruppe gibt es eine maximale lineare algebraische Untergruppe , diese ist normal und der Quotient ist eine abelsche Varietät:
- .
Die Abbildung ist die Albanese-Abbildung.
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 03.10. 2019