Zahl

Übersicht über einige gängige Zahlbereiche.A\subset B bedeutet, dass die Elemente des Zahlbereiches A unter Beibehaltung wesentlicher Beziehungen auch als Elemente des Zahlbereichs B aufgefasst werden können. Echte Klassen sind in blau markiert.

Zahlen sind abstrakte, mathematische Objekte beziehungsweise Objekte des Denkens, die sich historisch aus Vorstellungen von Größe und Anzahl entwickelten. Durch eine Messung wird ein als Größe verstandener Aspekt einer Beobachtung mit einer Zahl in Verbindung gebracht, beispielsweise bei einer Zählung. Sie spielen daher für die empirischen Wissenschaften eine zentrale Rolle.

In der Mathematik, welche Zahlen und ihre Struktur formal untersucht, schließt der Begriff sehr verschiedenartige Konzepte mit ein. Diese entwickelten sich als Verallgemeinerungen bestehender intuitiver Zahlkonzepte, sodass man sie ebenfalls als Zahlen bezeichnet, obwohl sie teilweise wenig Bezug zu den ursprünglich mit Messungen verbundenen Konzepten haben. Manche dieser Konzepte sind in der Mathematik von grundlegender Bedeutung und finden Verwendung in nahezu allen Teilgebieten.

In die Urgeschichte zurück reicht das Konzept der natürlichen Zahlen, welche zum Zählen verwendet werden können und grundlegende Bedeutung besitzen. Ab etwa 2000 v. Chr. rechneten Ägypter und Babylonier mit Bruchzahlen (rationalen Zahlen). In Indien entwickelte sich im 7. Jhd. n. Chr. ein Verständnis von der Null und den negativen Zahlen. Irrationale Zahlen wie \sqrt{2} oder \sqrt{5}, deren Notwendigkeit sich aus Erkenntnissen aus dem antiken Griechenland ergab (spätestens ab dem 4. Jhd. v. Chr.), wurden in der Blütezeit des Islam eingeführt.

Die Idee imaginärer Zahlen, durch die die reellen Zahlen später zu den bedeutenden komplexen Zahlen erweitert wurden, reicht in die europäische Renaissance zurück. Der Begriff der reellen Zahl konnte erst im 19. Jahrhundert hinreichend geklärt werden. Ende des 19. Jhd. konnte erstmals auch unendlichen Größen ein präziser Sinn als Zahlen gegeben werden. Auch wurden erstmals die natürlichen Zahlen axiomatisch definiert. Mit den Anfang des 20. Jhd. geschaffenen ersten zufriedenstellenden Grundlagen der Mathematik erfuhren auch die bedeutendsten Zahlbegriffe eine dem heutigen Stand entsprechende vollständig formale Definition und Bedeutung.

Vom Begriff der Zahl abzugrenzen sind Ziffern (spezielle Zahlzeichen; zur Darstellung bestimmter Zahlen verwendete Schriftzeichen), Zahlschriften (Schreibweisen von Zahlen z.B. mit Hilfe von Ziffern unter Verwendung bestimmter Regeln), Zahlwörter (Numerale, zur Benennung bestimmter Zahlen verwendete Wörter) und Nummern (Identifikatoren, die selbst Zahlen, oder aber – in der Regel Ziffern enthaltende – Zeichenketten sein können).

Etymologie

Das deutsche Wort Zahl geht vermutlich auf das urgermanische Wort *talō (Berechnung, Zahl, Rede) zurück, das vermutlich Wurzel der althochdeutschen Wörter zala (Ordnung, geordnete Darlegung, Bericht, Aufzählung) und zalōn (berichten, rechnen, zählen, berechnen, zahlen) ist. Aus zala wurde im Mittelhochdeutschen zale oder zal, auf das das heutige Wort Zahl zurückgeht.

Das urgermanische Wort findet seinen Ursprung vermutlich in einem urindogermanischen Etymon *del- (zielen, berechnen, nachstellen). Auch ein Zusammenhang mit dem urindogermanischen *del- (spalten) ist möglich; die ursprüngliche Bedeutung wäre dann möglicherweise „eingekerbtes Merkzeichen“.

Verknüpfungen von Zahlen

Die Mathematik untersucht Beziehungen zwischen mathematischen Objekten und beweist strukturelle Eigenschaften in diesen Beziehungen. Elementare Beispiele für zwischen Zahlen definierte Beziehungen sind etwa die allgemein bekannten Rechenoperationen (Grundrechenarten) über den rationalen Zahlen (Brüche), Vergleiche („kleiner“, „größer“, „größer gleich“ etc.) zwischen rationalen Zahlen und die Teilbarkeitsrelation zwischen ganzen Zahlen („3 ist ein Teiler von 9“). Zudem werden Eigenschaften über bestimmten Zahlen definiert, zum Beispiel ist über den ganzen Zahlen die Eigenschaft definiert, eine Primzahl zu sein.

Solche Verknüpfungen sind nicht als vom Zahlbegriff unabhängige willkürliche Operationen zu verstehen, vielmehr werden bestimmte Zahlbereiche meist untrennbar von bestimmten Verknüpfungen betrachtet, da diese die zu untersuchende Struktur maßgeblich bestimmen. Spricht man etwa über die natürlichen Zahlen, gebraucht man fast immer zumindest auch ihre Ordnung („1<5“, „12<19“), welche maßgeblich unseren Begriff von natürlichen Zahlen bestimmt.

In der Schulmathematik, der Informatik und der numerischen Mathematik befasst man sich mit Verfahren, um solche Verknüpfungen auf konkreten Darstellungen von Zahlen auszuwerten (Rechnen). Als Beispiel sei hier die schriftliche Addition genannt: Unter Verwendung der Darstellung von Zahlen in einem Stellenwertsystem ist es hier möglich, durch systematisches Abarbeiten der Ziffern eine Darstellung für die Summe der beiden Zahlen zu erlangen. In der Informatik und der numerischen Mathematik werden solche Verfahren entwickelt und auf ihre Leistungsfähigkeit hin untersucht. Einige solcher Verfahren sind von fundamentaler Bedeutung für die heutigen Computer.

In der abstrakten Algebra befasst man sich mit der Struktur von Verallgemeinerungen solcher Zahlbereiche, wobei nur noch das Vorhandensein von Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften über einer beliebigen Menge von Objekten vorausgesetzt wird, welche die Struktur der Verknüpfungen nicht eindeutig bestimmen, sondern viele verschiedene konkrete Strukturen mit diesen Eigenschaften (Modelle) zulassen (siehe algebraische Struktur). Ihre Resultate lassen sich auf konkrete Zahlbereiche anwenden, welche wiederum in der abstrakten Algebra als Motivation und elementare Beispiele dienen können.

Die Zahlentheorie behandelt Eigenschaften (im weiteren Sinne) von Zahlen, etwa Existenz, Häufigkeit und Verteilung von Zahlen mit bestimmten Eigenschaften. Eigenschaften transfiniter (in bestimmten Sinnen „unendlicher“ Zahlen) sind allerdings Gegenstand der Mengenlehre.

In der Mathematik werden solche Verknüpfungen, Beziehungen und Eigenschaften als Prädikate oder Relationen, einschließlich Funktionen, aufgefasst.

Definition von Zahlen

Der Begriff der Zahl ist nicht mathematisch definiert, sondern ist ein gemeinsprachlicher Oberbegriff für verschiedene mathematische Konzepte. Daher gibt es im mathematischen Sinn keine Menge aller Zahlen oder dergleichen. Die Mathematik spricht, wenn sie sich mit Zahlen befasst, stets über bestimmte wohldefinierte Zahlbereiche, d.h. nur über bestimmte Objekte unseres Denkens mit festgelegten Eigenschaften, die salopp alle als Zahlen bezeichnet werden. Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts werden in der Mathematik Zahlen rein mittels der Logik unabhängig von Vorstellungen von Raum und Zeit definiert. Grundsteine wurden hier von Richard Dedekind und Giuseppe Peano mit der Axiomatisierung der natürlichen Zahlen (s. >Peano-Axiome) gelegt. Dedekind schreibt zu diesem neuen Ansatz:

„Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden. So einleuchtend diese Forderung erscheint, so ist sie doch, wie ich glaube, selbst bei der Begründung der einfachsten Wissenschaft, nämlich desjenigen Theiles der Logik, welcher die Lehre von den Zahlen behandelt, auch nach den neuesten Darstellungen noch keineswegs als erfüllt anzusehen. […] die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlen-Wissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlen-Reich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlen-Reich beziehen.“

– Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? Vorwort zur ersten Auflage.

Zu unterscheiden sind axiomatische Definitionen von mengentheoretischen Definitionen von Zahlen: Im ersteren Fall wird die Existenz gewisser Objekte mit auf ihnen definierten Verknüpfungen mit bestimmten Eigenschaften in Form von Axiomen postuliert, so etwa auch bei den frühen Axiomatisierungen der natürlichen und der reellen Zahlen durch Peano und Dedekind. In der Folge der Entwicklung der Mengenlehre durch Georg Cantor ging man dazu über, zu versuchen, sich auf mengentheoretische Axiome zu beschränken, wie es in der Mathematik heute etwa mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) üblich ist. Die Existenz gewisser Zahlenmengen und Verknüpfungen über ihnen mit gewissen Eigenschaften wird dann aus diesen Axiomen gefolgert. Mitunter wird ein Zahlbereich als eine bestimmte Klasse definiert. Die axiomatische Mengenlehre versucht eine einzige, einheitliche formale Grundlage für die gesamte Mathematik zu sein. Innerhalb ihrer lässt sich auf reichhaltige Weise mit den Zahlbereichen umgehen. Formuliert wird sie in der Regel in der Prädikatenlogik erster Stufe, welche die Struktur der mathematischen Sätze sowie die Möglichkeiten zur Schlussfolgerung aus den Axiomen festlegt.

Ein elementares Beispiel einer mengentheoretischen Definition einer Menge von Zahlen ist die von John von Neumann eingeführte Definition der natürlichen Zahlen als die kleinste induktive Menge, deren Existenz im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre durch das Unendlichkeitsaxiom postuliert wird.

Als mengentheoretische Konzepte werden Ordinal- und Kardinalzahlen in aller Regel mengentheoretisch definiert, ebenso die Verallgemeinerung der surrealen Zahlen.

Die Peano-Axiome etwa und die auf Dedekind zurückgehende Definition der reellen Zahlen basieren im Gegensatz zu ZFC auf der Prädikatenlogik zweiter Stufe. Während die Prädikatenlogik erster Stufe eine klare, allgemein akzeptierte Antwort darauf liefert, wie gültige Schlüsse vorzunehmen sind, wobei diese sich systematisch berechnen lassen, führen Versuche, dies für die Prädikatenlogik zweiter Stufe zu klären, meist dazu, dass eine komplexe Metatheorie eingeführt werden muss, die ihrerseits mengentheoretische Begriffe metasprachlich einführt und von deren Details die in der Folge erschlossenen Möglichkeiten der Folgerung in der Prädikatenlogik zweiter Stufe abhängen. ZFC ist ein Kandidat für eine solche Theorie. Diese Einschränkungen lassen die Prädikatenlogik zweiter Stufe in einem Teil der Philosophie der Mathematik ungeeignet erscheinen, auf grundlegender Ebene verwendet zu werden. Die Prädikatenlogik erster Stufe dagegen ist nicht hinreichend, um gewisse wichtige intuitive Eigenschaften der natürlichen Zahlen zu formulieren und (bei Betrachtung dieser in einer mengentheoretischen Metatheorie, etwa aufgrund des Satzes von Löwenheim-Skolem die Abzählbarkeit) sicherzustellen.

Zahlbereiche

Einige wichtige Zahlbereiche seien hier in ihrem mathematischen Kontext vorgestellt. Im Laufe der Geschichte der Mathematik wurden immer weitere Zahlbereiche eingeführt, um gegenüber bisherigen Zahlbereichen bestimmte Probleme allgemeiner behandeln zu können. Insbesondere wurden bestehende Zahlbereiche durch Hinzufügen zusätzlicher Elemente zu neuen Zahlbereichen erweitert, um über gewisse Operationen allgemeiner sprechen zu können, siehe hierzu auch den Artikel zur Zahlbereichserweiterung.

Zum Begriff des Zahlbereichs siehe den Abschnitt zur Definition.

Natürliche Zahlen

Hauptartikel: Natürliche Zahl

Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, … oder 0, 1, 2, 3, 4, 5, … bilden diejenige Menge von Zahlen, die üblicherweise zum Zählen verwendet wird, wobei je nach Definition die Null miteingeschlossen wird oder nicht. Die natürlichen Zahlen sind mit einer Ordnung („kleiner“) versehen. Es gibt ein kleinstes Element (je nach Definition die Null oder die Eins) und jedes Element hat einen Nachfolger und ist kleiner als sein Nachfolger. Indem man ausgehend vom kleinsten Element immer wieder den Nachfolger bildet, erreicht man schließlich jede natürliche Zahl und sukzessive immer weitere, sodass es ihrer unendlich viele gibt. Die natürlichen Zahlen sind zudem mit Addition und Multiplikation versehen, je zwei natürlichen Zahlen lassen sich damit eine Summe und ein Produkt zuordnen, die wieder natürliche Zahlen sind. Diese Operationen sind assoziativ und kommutativ, zudem sind sie im Sinne des Distributivgesetzes miteinander verträglich: a\cdot (b+c)=a\cdot b + a\cdot c. Diese drei Eigenschaften sind auch grundlegend für viele allgemeinere Zahlbereiche wie die ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Die Ordnung der natürlichen Zahlen ist in gewisser Hinsicht mit der Addition und Multiplikation verträglich: Sie ist verschiebungsinvariant, d.h. für natürliche Zahlen m, n, o folgt aus m\leq n auch m+o\leq n+o, zusätzlich zur Verschiebungsinvarianz folgt auch m\cdot o\leq n\cdot o.

Die Existenz der Menge aller natürlichen Zahlen wird in der Mengenlehre durch das Unendlichkeitsaxiom sichergestellt.

Diese Menge wird mit \N oder \mathbf{N} bezeichnet.

Ganze Zahlen

Hauptartikel: Ganze Zahl

In der Menge der natürlichen Zahlen existiert für zwei Zahlen n<m keine natürliche Zahl d, sodass m+d=n. Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen so, dass für zwei beliebige Elemente eine solche Zahl d existiert. Hierzu fügt man die negativen Zahlen den natürlichen Zahlen hinzu: Zu jeder natürlichen Zahl n existiert eine zweite ganze Zahl -n, sodass n+(-n) = 0, welche als additives Inverses bezeichnet wird. Die obige Zahl d, genannt Differenz, ist dann als n+(-m), kurz n-m, gegeben. Hierdurch ist die Subtraktion auf den ganzen Zahlen definiert, welche jedoch im Wesentlichen eine Kurzschreibweise darstellt.

Die Ordnung über den natürlichen Zahlen wird auf die ganzen Zahlen erweitert, hierbei gibt es kein kleinstes Element mehr, dafür hat jedes Element einen Vorgänger und einen Nachfolger (der Vorgänger der 0 ist die -1, der der -1 die -2 etc.). Die Verträglichkeit mit der Addition, die Verschiebungsinvarianz, bleibt dabei erhalten. Zudem ist das Produkt von zwei ganzen Zahlen größer Null stets wiederum größer Null.

Die ganzen Zahlen bilden einen Ring.

Die Menge der ganzen Zahlen wird mit \mathbb{Z} oder \mathbf{Z} bezeichnet.

Rationale Zahlen

Hauptartikel: Rationale Zahl

Ebenso wie die natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitert werden, um ein additives Inverses und die Subtraktion zu erhalten, erweitert man die ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen, um ein multiplikatives Inverses und die Division zu erhalten. D.h. die rationalen Zahlen enthalten die ganzen Zahlen und zu jeder ganzen Zahl z \neq 0 fügt man die \tfrac{1}{z} genannte Zahl (Stammbruch) als multiplikatives Inverses hinzu, sodass \textstyle z\cdot \frac{1}{z}=1. Zudem soll das Produkt zweier beliebiger rationaler Zahlen definiert sein, allgemein erhält man rationale Zahlen der Form \textstyle \frac{x}{y}=x\cdot \frac{1}{y}, genannt Bruch, wobei eine ganze Zahl z mit dem Bruch \textstyle \frac{z}{1} identifiziert wird. Für ganze Zahlen t\neq 0 werden die Brüche \textstyle \frac{x}{y} und \textstyle \frac{t\cdot x}{t\cdot y} miteinander identifiziert; diese Identifizierung wird auch als Erweitern und Kürzen bezeichnet. Somit erhält man eine mit der Multiplikation ganzer Zahlen kompatible Multiplikation und Division.

Mittels der Dezimalbruchdarstellung lässt sich eine mit der Ordnung der ganzen Zahlen kompatible Ordnung definieren, die auch die Verträglichkeit mit Addition und Multiplikation erhält.

Die rationalen Zahlen bilden einen (geordneten) Körper. Die Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen wird verallgemeinert als Quotientenkörperbildung zu einem Ring.

Die Menge der rationalen Zahlen wird mit \mathbb{Q} oder \mathbf{Q} bezeichnet. In der (deutschen) Schulmathematik kommt daneben die Bezeichnung \mathbb{B} (:= \mathbb{Q}^+_0) vor („Menge der (positiven) Bruchzahlen“), wenn die positiven Brüche vor den negativen ganzen Zahlen eingeführt werden.

Algebraische Erweiterungen

Hauptartikel: Algebraische Zahl und Algebraische Erweiterung

Mit der Addition und Multiplikation ganzer oder rationaler Zahlen lassen sich sogenannte Polynomfunktionen definieren: Jeder ganzen bzw. rationalen Zahl wird dabei eine Summe von Potenzen multipliziert mit konstanten Zahlen (Koeffizienten) zugeordnet. Etwa einer beliebigen Zahl x der Wert \textstyle 12\cdot x^0 + 4\cdot x^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot x^3 definiert als \textstyle 12+4\cdot x\cdot x + \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot x\cdot x\cdot x. Für viele solcher Polynomfunktionen existiert keine rationale Zahl, sodass der Wert der Polynomfunktion an dieser Stelle gleich Null wird (Nullstelle). Fügt man nun Nullstellen bestimmter Polynomfunktionen den rationalen Zahlen hinzu, wobei Multiplikation und Addition wohldefiniert bleiben, erhält man eine algebraische Erweiterung. Erweitert man die rationalen Zahlen um solche Nullstellen für alle nicht-konstanten Polynome, erhält man die algebraischen Zahlen. Erweitert man die ganzen Zahlen um Nullstellen für alle nicht-konstanten Polynome, deren Koeffizienten ganzzahlig sind und deren Koeffizient zur höchsten Potenz 1 ist, so erhält man die ganzalgebraischen Zahlen.

Algebraische Erweiterungen werden in der Körpertheorie, insbesondere in der Galois-Theorie, untersucht.

Reelle Zahlen

Hauptartikel: Reelle Zahlen

Betrachtet man Probleme wie etwa das Finden von Nullstellen von Polynomfunktionen über den rationalen Zahlen, stellt man fest, dass sich in den rationalen Zahlen beliebig gute Näherungen konstruieren lassen: Etwa findet sich bei zahlreichen Polynomfunktionen zu jeder festgelegten Toleranz eine rationale Zahl, sodass der Wert der Polynomfunktion an dieser Stelle höchstens um die Toleranz von der Null abweicht. Zudem kann man die Näherungslösungen so wählen, dass sie „nah beieinander“ liegen, denn Polynomfunktionen sind stetig („weisen keine ‚Sprünge‘ auf“). Dieses Verhalten tritt nicht nur bei Nullstellen von Polynomfunktionen auf, sondern auch bei zahlreichen weiteren mathematischen Problemen, die eine gewisse Stetigkeit aufweisen, sodass man dazu übergeht, die Existenz einer Lösung zu garantieren, sobald beliebig gute Näherungen durch nahe beieinander gelegene rationale Zahlen existieren. Eine solche Lösung nennt man dann eine reelle Zahl. Um die Existenz solcher Lösungen zu zeigen, reicht es zu fordern, dass es zu jeder Menge rationaler Zahlen, die nicht beliebig große Zahlen enthält, unter den reellen Zahlen, die größer oder gleich als all diese Elemente der Menge sind, eine kleinste gibt. Alternativ lassen sich die reellen Zahlen explizit als Folgen von rationalen Zahlen, die sich einander „annähern“, definieren.

Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar. Daher ist es nicht möglich, jede beliebige reelle Zahl sprachlich eindeutig zu beschreiben.

Die Abgeschlossenheit der reellen Zahlen unter solchen Näherungsprozessen bezeichnet man als Vollständigkeit. Diese erlaubt es, zahlreiche Begriffe aus der Analysis, wie den der Ableitung und den des Integrals, über Grenzwerte zu definieren. Grenzwerte erlauben zudem die Definition zahlreicher wichtiger Funktionen, etwa der trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus, Tangens etc.), was über den rationalen Zahlen nicht möglich ist.

Die reellen Zahlen behalten maßgebliche Eigenschaften der Addition, Multiplikation und der Ordnung in den rationalen Zahlen und bilden somit ebenfalls einen geordneten Körper. Sie lassen sich nicht erweitern, ohne diese Eigenschaft oder das archimedische Axiom zu verletzen, also „unendlich kleine strikt positive Zahlen“ einzuführen.

Die Idee des Übergangs von den rationalen zu den reellen Zahlen wird durch verschiedene Konzepte der Vervollständigung verallgemeinert.

Die Menge der reellen Zahlen wird mit \mathbb{R} oder \mathbf{R} bezeichnet.

Komplexe Zahlen

Hauptartikel: Komplexe Zahlen

Manche Polynomfunktionen besitzen keine Nullstellen in den reellen Zahlen. Beispielsweise nimmt die Funktion x\mapsto x^2+1 für jede reelle Zahl x einen Wert größer als Null an. Es lässt sich zeigen, dass durch das Hinzufügen einer Zahl i, genannt imaginäre Einheit, die die Gleichung i^2+1=0 erfüllt, wobei die grundlegenden Eigenschaften der Addition und Multiplikation erhalten bleiben sollen, bereits die reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen erweitert werden, in denen alle nicht konstanten Polynomfunktionen eine Nullstelle besitzen. Die komplexen Zahlen bilden damit den algebraischen Abschluss der reellen Zahlen. Grenzwertprozesse sind in den komplexen Zahlen ebenso möglich wie in den reellen Zahlen, jedoch sind die komplexen Zahlen nicht mehr geordnet. Sie lassen sich als Ebene (zweidimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen) auffassen. Jede komplexe Zahl lässt sich eindeutig in der Form a+b\cdot i „darstellen“, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit bezeichnen.

Die Funktionentheorie ist das Teilgebiet der Analysis, das sich mit den analytischen Eigenschaften von Funktionen über den komplexen Zahlen befasst.

Die Menge der komplexen Zahlen wird mit \mathbb{C} oder \mathbf{C} bezeichnet.

Ordinalzahlen und Kardinalzahlen

Hauptartikel: Ordinalzahl und Kardinalzahl (Mathematik)

Die Ordinal- und Kardinalzahlen sind Konzepte aus der Mengenlehre. In der Mengenlehre definiert man die Kardinalität einer Menge als Kardinalzahl, die Kardinalität ist eine Verallgemeinerung des Konzepts der „Anzahl der Elemente“ einer endlichen Menge auf unendliche Mengen. Die Kardinalitäten endlicher Mengen sind somit natürliche Zahlen, welche auch in den Kardinalzahlen enthalten sind.

Ordinalzahlen verallgemeinern das Konzept der „Position in einer (wohlgeordneten) Menge“ auf unendliche Mengen. Ordinalzahlen beschreiben dann eindeutig die Position eines Elementes in einer solchen Wohlordnung. Die Ordinalzahlen sind selbst wohlgeordnet, sodass die Reihenfolge von wohlgeordneten Objekten der Reihenfolge der ihnen zugeordneten „Positionen“ (also Ordinalzahlen) entspricht. Für Positionen in Anordnungen endlich vieler Objekte lassen sich natürliche Zahlen verwenden, welche den kleinsten Ordinalzahlen entsprechen.

Kardinalzahlen werden heutzutage als spezielle Ordinalzahlen definiert, wodurch sie ebenfalls eine Ordnung erhalten. Neben der Ordnung sind auf Kardinalzahlen und Ordinalzahlen auch Addition, Multiplikation und Potenzierung definiert, welche eingeschränkt auf die natürlichen Zahlen mit den üblichen Begriffen für natürliche Zahlen übereinstimmen, siehe hierzu Kardinalzahlarithmetik .

Sowohl die Ordinalzahlen als auch die Kardinalzahlen bilden echte Klassen, das heißt, sie sind im Sinne der modernen Mengenlehre keine Mengen.

Hyperreelle Zahlen

Hauptartikel: Hyperreelle Zahlen

Die hyperreellen Zahlen sind eine Verallgemeinerung der reellen Zahlen und Untersuchungsgegenstand der Nichtstandardanalysis. Diese erlauben die Definition von Begriffen aus der Analysis wie die der Stetigkeit oder der Ableitung ohne die Verwendung von Grenzwerten.

Hyperkomplexe Zahlen

Hauptartikel: Hyperkomplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen lassen sich als zweidimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen auffassen (siehe Gaußsche Zahlenebene), das heißt als zweidimensionale Ebene, bei der neben der üblichen koordinatenweisen Addition eine Multiplikation zwischen zwei Punkten der Ebene definiert ist. Es gibt zahlreiche ähnliche Strukturen, die man unter dem Begriff hyperkomplexe Zahlen zusammenfasst. Diese Strukturen sind in der Regel endlichdimensionale Vektorräume über den reellen Zahlen (vorstellbar als zwei- oder höherdimensionaler Raum) mit einer zusätzlichen Multiplikation. Oftmals lassen sich die reellen Zahlen selbst in diese Strukturen einbetten, wobei die Multiplikation eingeschränkt auf die reellen Zahlen der üblichen Multiplikation von reellen Zahlen entspricht.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 03.07. 2021