Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

deutscher Mathematiker

geboren: 3. März 1845 in Sankt Petersburg
gestorben: 6. Januar 1918 in Halle/Saale

1889 - zum Mitglied der Leopoldina gewählt.
1904 - Sylvester-Medaille der Royal Society

Die Elementarschule besuchte er in Sankt Petersburg. Als er 11 Jahre alt war, siedelte die Familie wegen des schlechten Gesundheitszustandes des Vaters 1856 von St. Petersburg in das mildere Klima der Kurstadt Wiesbaden und etwas später nach Frankfurt am Main über.
Nach dem Schulabschluss („mit Auszeichnung“) 1860 an der Realschule Darmstadt, wechselte er auf die Höhere Gewerbeschule Darmstadt.

1862 begann Cantor ein Mathematikstudium am Polytechnikum in Zürich. 1863 wechselte er an die Universität nach Berlin. 1866 besuchte er ein Sommersemester lang die Universität Göttingen und wurde 1867 an der Universität Berlin bei Ernst Eduard Kummer promoviert. Unmittelbar danach wurde er als Mathematiklehrer am Friedrich-Wilhelm-Gymnasium Berlin tätig.
Nach der Habilitation 1869 an der Universität Halle/Saale mit dem Thema De transformatione formarum ternarium quadricarum lehrte und arbeitete Cantor bis zu seinem Lebensende in Halle, zunächst als Privatdozent, seit 1872 als Extraordinarius und seit 1877 bis zu seiner Emeritierung im Jahr 1913 als ordentlicher Professor.

Im Jahre 1870 gelang ihm die Lösung des mathematischen Problems der Darstellung einer Funktion als Summe trigonometrischer Reihen. Es folgten ab 1872 weitere Arbeiten über trigonometrische Reihen und 1873 der Beweis, dass rationale Zahlen abzählbar sind und es zu jeder natürlichen Zahl genau eine rationale Zahl gibt. Bereits im darauffolgenden Jahr gelang ihm der Umkehrschluss, dass reelle Zahlen nicht abzählbar sind. Damit bewies er auch, dass beinahe alle Zahlen transzendent sind.

1874 setzte er seine Veröffentlichungen zur Mengenlehre mit „Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen“ fort. 1877 behandelte er geometrische Anwendungen der Mengenlehre, zum Beispiel, ob ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 genauso viele Elemente enthält wie die Linie zwischen 0 und 1.
Ab 1879 entwickelte er weitere revolutionierende Ideen zur Mengenlehre. So gab er bis 1884 eine Artikelreihe mit dem Titel „Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten“ heraus. Darin begründete er die Grundlagen und Hauptsätze der Mengenlehre. Teil 5 der Reihe beschäftigt sich mit den „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre“.

Der Widerstand gegen seine mathematischen Ideen belasteten Cantor und führte mit dazu, dass er für fast zehn Jahre sein mathematisches Fachgebiet verließ und sich mit literaturhistorischen Forschungen, philosophischen und theologischen Themen beschäftigte.

Am 6. Januar 1918 starb Georg Cantor an einer Herzinsuffizienz in Halle in dem Sanatorium, in dem er das letzte Jahr seines Lebens verbracht hatte. Sein Grab ist auf dem Friedhof Giebichenstein in Halle erhalten.

Werk

Cantor befasste sich zunächst mit Zahlentheorie und wandte sich in Halle unter dem Einfluss von Eduard Heine Fourierreihen zu. Er bewies 1869 die Eindeutigkeit der Darstellung von Funktionen durch trigonometrische Reihen, veröffentlicht im Journal für die reine und angewandte Mathematik 1870. Genauer bewies er, dass falls

$\frac{c_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (c_k \cdot \cos(k x) + d_k \cdot \sin(k x)) =0.$

für alle $0 \leq x \leq 2 \cdot \pi$ , dass c_i = d_ i=0 für alle i. Der Satz bleibt auch bei endlich vielen Ausnahmestellen x gültig (in denen die Fourierreihe nicht konvergiert oder ungleich Null ist).

Er baute beim Beweis auf den Untersuchungen von Bernhard Riemann auf und korrespondierte im Vorfeld des Beweises mit seinem Studienfreund Hermann Amandus Schwarz, der einen wichtigen Baustein des Beweises lieferte. Die Theorie der Fourierreihen war auch der Ausgangspunkt seiner Beschäftigung mit Mengenlehre, als er sich fragte, ob sein Eindeutigkeitssatz bei unendlich vielen Ausnahmestellen erhalten bleibt.

Cantor begründete in den Jahren 1874 bis 1897 die Mengenlehre, die er anfangs (1877) noch Mannigfaltigkeitslehre nannte. Er formulierte 1895 folgende oft zitierte Definition der Menge:

„Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“

Cantor kam zu seiner Mengenlehre durch die Betrachtung eindeutiger (heute: „bijektiver“) Zuordnungen der Elemente von unendlichen Mengen. Er bezeichnete Mengen, für die eine solche Beziehung hergestellt werden kann, als äquivalent oder „von gleicher Mächtigkeit“, auch „gleichmächtig“. Demnach ist die Menge der natürlichen Zahlen $\{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,...\}$ der Menge der rationalen Zahlen (Brüche) äquivalent, was er durch sein Diagonalisierungsverfahren zeigte. Mit seinem zweiten Diagonalargument bewies er dann, dass die Menge der reellen Zahlen mächtiger ist als die der natürlichen Zahlen. Eine Verallgemeinerung war der Satz von Cantor. Die Arbeiten waren unter den Mathematikern seiner Zeit wegen der ungeklärten Fragen hinsichtlich des „aktual Unendlichen“ und der Einführung der transfiniten Zahlen umstritten. Insbesondere geriet Cantor in einen tiefgreifenden wissenschaftlichen Gegensatz zu Leopold Kronecker. Man vermutet hierin den Grund für die Verzögerung der Publikation von Cantors Artikel Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre in Crelles Journal. Diese Kontroverse zwischen Cantor und Kronecker wird als „Präludium für den späteren Streit zwischen Intuitionisten und Formalisten“ gesehen. Cantor hatte aber auch schon früh Unterstützung durch einflussreiche Mathematiker, darunter David Hilbert, von dem das klassische Zitat stammt, Cantor habe ein Paradies geschaffen, aus dem niemand die Mathematiker vertreiben könne.

Cantor selbst gehörte auch zu den ersten Entdeckern der Antinomien der naiven Mengenlehre und bewies mit den beiden Cantorschen Antinomien, dass gewisse Klassen keine Mengen sind. Er ist sogar als Schöpfer der axiomatischen Mengenlehre anzusehen, denn Cantors Mengenaxiome aus Briefen von 1889/99, die allerdings erst posthum publiziert wurden, nehmen die Axiome der späteren Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre vorweg.

Auf Cantor geht auch die Cantorsche Paarungsfunktion (auch Nummerierungsfunktion) zurück.

Schließlich schuf Cantor 1870 mit der sogenannten Punktmenge die Grundlagen der Theorie der später von Benoît Mandelbrot so bezeichneten Fraktale. Die Cantorsche Punktmenge folgt dem Prinzip der unendlichen Wiederholung selbstähnlicher Prozesse. Die Cantor-Menge gilt als das älteste Fraktal überhaupt.