Wittscher Blockplan

Als Wittsche Blockpläne (auch Witt-Designs, engl. Witt designs) werden in der endlichen Geometrie bestimmte Blockpläne bezeichnet, die 1931 von Robert Daniel Carmichael entdeckt und 1938 von Ernst Witt, nach dem sie auch benannt sind, erneut beschrieben wurden. Es handelt sich dabei zunächst um zwei 5-Blockpläne, die als kleiner bzw. großer Wittscher Blockplan bezeichnet werden. Beide sind bis auf Isomorphie die einzigen einfachen 5-Blockpläne mit der Punktanzahl 12 (kleiner) bzw. 24 (großer Wittscher Blockplan). Der kleine Wittsche Blockplan \mathrm{W}_{12} ist ein 5-(12,6,1)-Blockplan, als Steinersystem ein S(5,6;12); der große \mathrm{W}_{24} ist ein 5-(24,8,1)-Blockplan, als Steinersystem ein S(5,8;24).

Die Bedeutung des kleinen und großen Wittschen Blockplans liegt – für die diskrete Mathematik – darin, dass sie jahrzehntelang die einzigen bekannten, nichttrivialen 5-Blockpläne waren und dadurch sehr ausführlich untersucht sind. In der Gruppentheorie, genauer für die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, sind die beiden 5-Blockpläne und ihre Ableitungen \mathrm{W}_{11},\mathrm{W}_{23},\mathrm{W}_{22}, die häufig auch als Wittsche Blockpläne bezeichnet werden, von großer Bedeutung, da die Mathieu-Gruppen (benannt nach Émile Léonard Mathieu, das sind 5 der sporadischen einfachen Gruppen, \mathbb{M}_{12},\mathbb{M}_{11},\mathbb{M}_{24},\mathbb{M}_{23},\mathbb{M}_{22}) ihre Automorphismengruppen sind.

Konstruktion

Kleiner Wittscher Blockplan

Geometrische Konstruktion
Die affine EbeneA=AG_1(2,3).

Der 5-(12,6,1)-Blockplan \mathrm{W}_{12}=(\mathfrak{q},\mathfrak{B},\in) kann als dreifache Erweiterung der affinen Ebene der Ordnung 3, A=AG_1(2,3)=(\mathfrak{p},\mathfrak{G},\in) (siehe die Abbildung rechts) konstruiert werden. Man macht sich dabei einige Besonderheiten dieser Ebene zunutze:

  1. Jeder Punkt von A ist in genau 8 Vierecken aus V_{j} enthalten,
  2. je zwei verschiedene Punkte von A liegen in genau 3 Vierecken aus V_{j},
  3. jedes Dreieck von A ist in genau einem Viereck aus V_{j} enthalten.

Nun werden der Punktmenge drei zusätzliche Punkte q_1,q_2,q_3\not\in\mathfrak{p} hinzugefügt \left(\mathfrak{q}=\mathfrak{p}\cup\{ q_1,q_2,q_3 \}\right) und folgende Typen von Blöcken für die neue Blockmenge {\mathfrak {B}} definiert:

  1. Für jede Gerade G von A seien G^*=G\cup \{q_1,q_2,q_3\}
  2. und G^c=\mathfrak{p}\setminus G (dies sind die Punkte eines Parallelenpaars von A) Blöcke von \mathrm{W}_{12}.
  3. Für jedes Viereck v von A mit v\in V_j seien v^*=(v\cup \{q_1,q_2,q_3\})\setminus \{ q_j\}
  4. und v^+=v\cup \{ d(v),q_j\} Blöcke von \mathrm{W}_{12}.

Dies ergibt für \mathrm{W}_{12} insgesamt 132 Blöcke mit je 6 Punkten: 12 für die erweiterten Geraden (1. Typ), 12 für die Komplemente der Geraden, das sind die Parallelenpaare von A (2. Typ) und je 54 für die erweiterten Vierecke (3. Typ) und die erweiterten Paare von schneidenden Geraden (4. Typ).

Die so definierte Inzidenzstruktur \mathrm{W}_{12}=(\mathfrak{q},\mathfrak{B},\in) ist ein 5-(12,6,1)-Blockplan.

Großer Wittscher Blockplan

Der große Wittsche Blockplan \mathrm{W}_{24} lässt sich als dreifache Erweiterung der projektiven Ebene PG_1(2,4) der Ordnung 4 konstruieren.

Eigenschaften

Witt-Blockpläne

Inzidenzparameter der Wittschen Blockpläne

Die Parameter einer endlichen Inzidenzstruktur, die einer Regularitätsbedingung genügen, sind diejenigen der Inzidenzparameter b_{i} (durchschnittliche Blockanzahl durch i beliebige Punkte) bzw. v_{j} (durchschnittliche Punktzahl auf j beliebigen Blöcken), die bei allen i-elementigen Punktmengen bzw. j-elementigen Blockmengen übereinstimmenden positiven Zahlen gleichen. Beim kleinen und großen Wittschen 5-Blockplan, die beide als Inzidenzstrukturen den Typ (5,1) haben, sind dies die Parameter b_0,b_1,\ldots b_5=1 und v_0,v_1. Nach jeder Ableitung genügt ein Blockparameter weniger seiner Regularitätsbedingung:

Reguläre Inzidenzparameter
Blockplan Typ als Inzidenzstruktur b5 b4 b3 b2 b1 (r) b0 (Gesamtblockzahl) v2 v1 (k) v0 (Gesamtpunktzahl)
\mathrm{W}_9\cong  AG_1(2,3) (2,1) - - - 1 4 12 - 3 9
\mathrm{W}_{10} (3,1) - - 1 4 12 30 - 4 10
\mathrm{W}_{11} (4,1) - 1 4 12 30 66 - 5 11
\mathrm{W}_{12} (5,1) 1 4 12 30 66 132 - 6 12
\mathrm{W}_{21}\cong PG_1(2,4) (2,2) - - - 1 5 21 1 5 21
\mathrm{W}_{22} (3,1) - - 1 5 21 77 - 6 22
\mathrm{W}_{23} (4,1) - 1 5 21 77 253 - 7 23
\mathrm{W}_{24} (5,1) 1 5 21 77 253 759 - 8 24

Außerdem lässt sich für Teilmengen U\subseteq B\in\mathfrak{B} eines Blockes B eine nur von der Punktzahl u=|U| abhängige Schnittzahl n_u=n(B,U)=\left| \{Y\in\mathfrak{B}|B\cap Y= U \} \right| angeben, falls u\leq k ist. Mit anderen Worten ist n_u die von B und U unabhängige Anzahl von Blöcken, die mit B genau alle Punkte von U gemeinsam haben. Die folgende Tabelle gibt diese Schnittzahlen an:

Schnittzahlen
t k v0 n8 n7 n6 n5 n4 n3 n2 n1 n0
2 3 9 - - - - - 1 0 3 2
3 4 10 - - - - 1 0 3 2 3
4 5 11 - - - 1 0 3 2 3 0
5 6 12 - - 1 0 3 2 3 0 1
2 5 21 - - - 1 0 0 0 4 0
3 6 22 - - 1 0 0 0 4 0 16
4 7 23 - 1 0 0 0 4 0 16 0
5 8 24 1 0 0 0 4 0 16 0 30

Mit Hilfe dieser Schnittzahlen kann man die Eindeutigkeit der Wittschen Blockpläne (bis auf Isomorphie, als Blockpläne mit ihren jeweiligen Parametern) nachweisen.

Mathieu-Gruppen

Die 5 sporadischen Mathieu-Gruppen \mathbb{M}_{11},\mathbb{M}_{12},\mathbb{M}_{22},\mathbb{M}_{23},\mathbb{M}_{24} sind die vollen Automorphismengruppen der Wittschen Blockpläne, wobei der Subskript an der Kurzbezeichnung jeweils dem Subskript des zugehörigen Witt-Blockplanes, also dessen Punktzahl v entspricht. Alle fünf sind einfache Gruppen, d. h. sie haben keine außer den trivialen Normalteilern. Rein gruppentheoretisch lässt sich der Subskript v der Matthieugruppen auch beschreiben als minimale ganze Zahl v, so dass \mathbb{M}_{v} als Permutationsgruppe auf \{1,2,\ldots, v\} operiert, mit anderen Worten, S_{v} ist die kleinste symmetrische Gruppe, so dass ein Gruppenmonomorphismus \mathbb{M}_{v}\rightarrow S_v existiert. Der Parameter t des Blockplanes, der angibt, für wie viele beliebige Punkte jeweils ein gemeinsamer Block existiert, gibt gruppentheoretisch den maximalen Transitivitätsgrad der zugehörigen Matthieugruppe an, das heißt, die Gruppe operiert als t-fach, aber nicht t+1-fach transitive Permutationsgruppe auf den Punkten des entsprechenden Blockplans und kann auf keiner Menge mehr als t-fach transitiv und treu operieren.

Mathieu-Gruppe Gruppenordnung Blockplan Parameter t-(v,k,\lambda ) Steiner-Notation
\mathbb{M}_{11} 7920=2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 11 \mathrm{W}_{11} 4-(11,5,1) S(4,5;11)
\mathbb{M}_{12} 95040=2^6 \cdot 3^3 \cdot 5\cdot 11 \mathrm{W}_{12} 5-(12,6,1) S(5,6;12)
\mathbb{M}_{22} 443520=2^7\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 \cdot 11 \mathrm{W}_{22} 3-(22,6,1) S(3,6;22)
\mathbb{M}_{23} 10200960=2^7 \cdot 3^2 \cdot 5\cdot 7 \cdot 11\cdot 23 \mathrm{W}_{23} 4-(23,7,1) S(4,7;23)
\mathbb{M}_{24} 244823040=2^{10}\cdot 3^3 \cdot 5\cdot 7 \cdot 11\cdot 23 \mathrm{W}_{24} 5-(24,8,1) S(5,8;24)
Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 16.12. 2019