Sylow-Sätze

Die Sylow-Sätze (nach Ludwig Sylow) sind drei mathematische Sätze aus der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Sie erlauben es, Aussagen über Untergruppen von endlichen Gruppen zu treffen und auch einige Gruppen endlicher Ordnung zu klassifizieren.

Im Gegensatz zu endlichen zyklischen Gruppen kann man bei beliebigen endlichen Gruppen im Allgemeinen nichts über die Existenz und Anzahl von Untergruppen aussagen. Man weiß lediglich aus dem Satz von Lagrange, dass eine Untergruppe einer Gruppe eine Ordnung hat, die Teiler der Ordnung von ist. Die Sylowsätze liefern hier zusätzliche Aussagen, erlauben allerdings auch keine vollständige Klassifikation endlicher Gruppen. Diese vollzieht sich über die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen.

Neben Sylow (1872) gaben unter anderem Eugen Netto und Alfredo Capelli Beweise.

Die Sätze

Sei im Folgenden eine endliche Gruppe der Ordnung $|G|=p^{r}m$ , wobei eine Primzahl und eine zu teilerfremde natürliche Zahl seien. Eine maximale -Untergruppe von , wird -Sylowuntergruppe genannt.

Für alle $0\leq s\leq r$ besitzt eine Untergruppe der Ordnung $p^{s}$ . Insbesondere haben die maximalen -Untergruppen von die Ordnung $p^{r}$ .
Sei eine -Sylowuntergruppe. Dann enthält von jeder Untergruppe , die p-Gruppe ist, eine Konjugierte. Es gibt also ein $g\in G$ mit $gUg^{{-1}}\subseteq P$ .
Die Anzahl der -Sylowuntergruppen ist ein Teiler des Index der -Sylowuntergruppe von und von der Form mit $k \in \N_0$ .

Folgerungen

Satz von Cauchy: Ist eine Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl geteilt wird, so gibt es in ein Element der Ordnung .
Je zwei -Sylowgruppen einer Gruppe sind konjugiert und damit isomorph.
Sei eine Gruppe und eine -Sylowuntergruppe. Dann ist genau dann Normalteiler von , wenn die einzige -Sylowuntergruppe von ist.
Sei eine endliche Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl geteilt wird. Ist abelsch, so gibt es nur eine -Sylowuntergruppe in .

Beispiele

Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch

Sei eine Gruppe der Ordnung $|G|=15=3\cdot 5$ . Bezeichnet man mit s_3 die Anzahl der 3-Sylowuntergruppen von und mit $s_{5}$ die Anzahl der 5-Sylowuntergruppen von , so gilt:

$s_{3}\equiv 1\;\operatorname {mod}\;3$ und $s_{3}\mid 5$ , also muss $s_{3}=1$ gelten.
$s_{5}\equiv 1\;\operatorname {mod}\;5$ und $s_{5}\mid 3$ , also muss $s_{5}=1$ gelten.

Also sind die 3-Sylowuntergruppe $G_{3}$ und die 5-Sylowuntergruppe $G_{5}$ Normalteiler von G. Als p-Untergruppen zu verschiedenen Primzahlen ist ihr Durchschnitt $\{e\}$ , wobei $e \in G$ das neutrale Element von bezeichnet. Daher ist ihr Komplexprodukt direkt, das heißt $G_{3}\cdot G_{5}\simeq G_{3}\times G_{5}$ (s. Komplementäre Normalteiler und inneres direktes Produkt). Da das direkte Produkt die Ordnung 15 hat, muss $G\simeq \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ sein, und mit dem chinesischen Restsatz folgt $G\simeq \mathbb {Z} /15\mathbb {Z}$ .

Es gibt keine einfache Gruppe der Ordnung 162

Sei $|G|=162=2\cdot 3^{4}$ .

Aus $s_{3}\equiv 1\;{\pmod {3}}$ und $s_{3}\mid 2$ folgt $s_{3}=1$

Also ist die 3-Sylowgruppe ein Normalteiler von der Ordnung $3^{4}=81$ . Dieser Normalteiler kann somit weder die ganze Gruppe sein, noch kann er nur aus dem neutralen Element bestehen. ist also nicht einfach.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de