p-Gruppe

Für eine Primzahl p[1] ist eine p-Gruppe in der Gruppentheorie eine Gruppe, in der die Ordnung jedes Elements eine Potenz von p ist. Das heißt, für jedes Element g der Gruppe gibt es eine natürliche Zahl n, so dass g hoch p^n gleich dem neutralen Element der Gruppe ist.

Die Sylow-Sätze ermöglichen es, p-Untergruppen von endlichen Gruppen mit kombinatorischen Methoden aufzufinden. Besonders wichtig sind dabei die maximalen p-Untergruppen, die p-Sylowgruppen einer endlichen Gruppe.

Definitionen und Eigenschaften

Spezielle p-Gruppen

Endliche p-Gruppen

Elementar abelsche Gruppe

Eine beliebige Gruppe heißt elementar abelsche Gruppe, wenn jedes Gruppenelement (außer dem neutralen Element) die Ordnung p hat (p Primzahl) und ihre Verknüpfung kommutativ[4] ist. Elementar abelsche Gruppen sind also spezielle abelsche p-Gruppen. Der Begriff wird meistens für endliche Gruppen gebraucht.

Eine beliebige, auch unendliche Gruppe ist genau dann elementar abelsch, wenn eine Primzahl p existiert, so dass

Ein endliches direktes Produkt kann hier auch "leer" sein oder nur einen Faktor haben. Die triviale, einelementige Gruppe ist also ebenfalls elementar abelsch und dies bezüglich jeder Primzahl. Eine nichttriviale zyklische Gruppe ist genau dann elementar abelsch, wenn sie isomorph zu einem endlichen Primkörper (als additive Gruppe) ist.

Aus den genannten Darstellungen wird offensichtlich:

Beispiele und Gegenbeispiele

Endliche Gruppen

Beispiele unendlicher p-Gruppe

  • Die p^\infty-Gruppe ist auch isomorph zur multiplikativen Gruppe derjenigen komplexen Einheitswurzeln, deren Ordnung eine p-Potenz ist. Diese Gruppe ist eine abelsche p-Gruppe aber nicht elementar abelsch.

Literatur

Anmerkungen

  1. p steht in diesem Artikel immer für eine Primzahl
  2. Hungerford S.95, dies ist eine Verschärfung des 1. Sylow-Satzes.
  3. Hungerford zählt auch diese kombinatorische Folgerung aus der Bahnformel zu den Sylow-Sätzen.
  4. Für endliche Gruppen folgt die Kommutativität aus der ersten Forderung, dass alle Elemente g^p=e erfüllen, für unendliche Gruppen wird sie zusätzlich gefordert. Siehe Hungerford
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 05.10. 2019