Normalisator

Der Normalisator ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie.

Definition

Es seien eine Gruppe und eine nichtleere Teilmenge von . Der Normalisator von in ist definiert als

$N_{G}(U):=\left\{g\in G\mid gUg^{-1}=U\right\}$ .

Dabei ist $gUg^{-1} = \left\{gug^{-1} \mid u \in U\right\}$ , entsprechend der Definition des Komplexproduktes.

Mit anderen Worten: Der Normalisator N_G(U) besteht aus denjenigen $g\in G$ , für die gilt, dass unter Konjugation mit invariant ist. (Man sagt, dass diese Elemente normalisieren.)

Man beachte, dass lediglich gefordert wird, dass als Ganzes festbleibt, im Allgemeinen gilt also für einzelne Elemente $u\in U$ und $g\in N_G(U)$ durchaus $gug^{-1}\ne u$ ; es gilt aber stets $gug^{-1}\in U$ .

Eigenschaften

Der Normalisator ist eine Untergruppe von .
Der Index des Normalisators liefert die Anzahl der unterschiedlichen Konjugierten $gUg^{-1}$ der Menge , d.h. $|\{ gUg^{-1} \mid g \in G \}| =[G : N_G(U) ]$ .
Eine Untergruppe ist stets Normalteiler in ihrem Normalisator . Genauer: ist die bezüglich Inklusion größte Untergruppe von , in der Normalteiler ist.
Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler in , wenn ihr Normalisator ganz ist.
Man kann den Normalisator auch wie folgt einführen:
Sei eine Gruppe. Man lasse auf der Potenzmenge von durch Konjugation operieren. Dann ist der Stabilisator dieser Operation für eine gegebene Teilmenge von gerade der Normalisator dieser Teilmenge.

Beispiel

Es sei die Gruppe der invertierbaren $n\times n$ -Matrizen (mit reellen Einträgen) für eine natürliche Zahl . Weiter sei die Untergruppe der Diagonalmatrizen. Dann ist der Normalisator von in die Gruppe der Matrizen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag ungleich null ist. Der Quotient N_G(U)/U ist isomorph zur symmetrischen Gruppe $S_{n}$ .

Normalisator

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