Index (Gruppentheorie)
Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist der Index einer Untergruppe ein Maß für die relative Größe zur gesamten Gruppe.
Definition
Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Dann sind die Menge der Linksnebenklassen und die Menge der Rechtsnebenklassen gleichmächtig. Ihre Mächtigkeit ist der Index von in und wird mit , manchmal auch oder , bezeichnet.
Eigenschaften
- Es gilt . (Dabei bezeichnet die Ordnung von .)
- Der Index ist multiplikativ, d.h. ist
eine Untergruppe von
und
eine Untergruppe von ,
so gilt
- Der Spezialfall
wird oft als Satz
von Lagrange (nach J.-L. Lagrange) bezeichnet:
- Für eine Gruppe
und eine Untergruppe
gilt:
- Im Fall von endlichen Gruppen kann man den Index einer Untergruppe also
als
- berechnen.
- Für eine Gruppe
und eine Untergruppe
gilt:
- Ist
ein Normalteiler, so ist der
Index von
in
gerade die Ordnung der Faktorgruppe
,
also
- .
- Eine Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler, da von den zwei (Links)nebenklassen die eine die Untergruppe selbst und die andere deren Komplement ist.
- Allgemeiner: Ist eine Untergruppe von und ihr Index, der zugleich der kleinste Teiler der Ordnung ist, dann ist ein Normalteiler in .
Topologische Gruppen
Im Kontext von topologischen Gruppen spielen Untergruppen von endlichem Index eine Sonderrolle:
- Eine Untergruppe von endlichem Index ist genau dann offen, wenn sie abgeschlossen ist. (Offene Untergruppen sind stets abgeschlossen.)
- Jede offene Untergruppe einer kompakten Gruppe hat endlichen Index.
Siehe auch
- Der Index des Zentralisators eines Gruppenelements entspricht der Mächtigkeit seiner Konjugationsklasse.
- In der Galoistheorie ist durch die Galoiskorrespondenz ein Zusammenhang zwischen den relativen Indizes von Untergruppen der Galoisgruppe und den relativen Graden von Körpererweiterungen gegeben.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 29.06. 2019