Bahnformel

Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

Der Bahnensatz

Formulierung

Sei \ (G,\cdot ) eine Gruppe und \circ :G\times M\rightarrow M eine Operation von G auf einer Menge M. Dann ist für jedes x\in M die Abbildung

G/G_{x}\rightarrow G\circ x\ ,\ g\cdot G_{x}\mapsto g\circ x

eine wohldefinierte Bijektion. Dabei bezeichnet

Beweis

  1. Wohldefiniertheit: Aus {\displaystyle s\cdot G_{x}=t\cdot G_{x}} folgt {\displaystyle s^{-1}\cdot t\in G_{x}}, also {\displaystyle s\circ x=s\circ ((s^{-1}\cdot t)\circ x)=(s\cdot s^{-1}\cdot t)\circ x=t\circ x}.
  2. Surjektivität: Ist klar nach Definition der Bahn.
  3. Injektivität: Es bezeichne e das neutrale Element von G. Aus {\displaystyle s\circ x=t\circ x} folgt {\displaystyle (s^{-1}\cdot t)\circ x=s^{-1}\circ (t\circ x)=s^{-1}\circ (s\circ x)=(s^{-1}\cdot s)\circ x=e\circ x=x}, also {\displaystyle s^{-1}\cdot t\in G_{x}}. Dies impliziert {\displaystyle s\cdot G_{x}=t\cdot G_{x}}.

Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.

Bahnformel

Im Fall |G\circ x|<\infty ist (G:G_{x})=|G\circ x|. Dabei bezeichnet \ (G:G_{x}):=|G/G_{x}| den Index von G_{x} in G. Für endliche Gruppen G gilt daher die Bahnformel

\ |G|=|G\circ x|\cdot |G_{x}|.

Beispiele

Konjugation

Jede Gruppe G operiert auf sich selber vermöge der Konjugationsoperation g\circ x:=gxg^{{-1}}. Die Bahn G\circ x:=\{gxg^{{-1}}\ |\ g\in G\} eines Elements x\in G bezeichnet man als Konjugationsklasse von x. Der Stabilisator G_{x}:=\{g\in G\ |\ gxg^{{-1}}=x\}=\{g\in G\ |\ gx=xg\} heißt Zentralisator von x und wird mit Z_{G}(x) bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen G

|G|=|G\circ x|\cdot |Z_{G}(x)|.

Transitive Operation

Ist die Operation einer endlichen Gruppe G auf M transitiv, so ist

{\displaystyle |M|=|G\circ x|=(G:G_{x})}.

In diesem Fall muss also die Mächtigkeit von M ein Teiler der Gruppenordnung sein.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 21.10. 2018