Triviale Topologie
Die triviale Topologie, indiskrete Topologie, chaotische Topologie oder Klumpentopologie ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur für eine Menge, die diese zu einem topologischen Raum macht.
Definition
Sei 
eine Menge. Die triviale Topologie auf
ist die Topologie,
bei der nur die Menge
und die leere Menge 
offen sind.
Eigenschaften
Sei
ein topologischer Raum versehen mit der trivialen Topologie.
- Alle Punkte in
sind topologisch
ununterscheidbar.
- Entsprechend der Definition sind nur die leere Menge und die ganze Menge
abgeschlossen.
- Der Raum >
ist kompakt
und somit insbesondere parakompakt,
lindelöf
und lokalkompakt.
- Der Raum
ist wegzusammenhängend,
denn jede Abbildung eines topologischen Raums nach
ist stetig, und somit auch zusammenhängend.
- Die triviale Topologie ist die gröbste aller Topologien auf einer gegebenen Menge, insbesondere ist jede Abbildung von einem topologischen Raum in eine triviale Topologie stetig.
- Die triviale Topologie besitzt alle üblichen Trennungseigenschaften, sofern sie nicht T₀ voraussetzen, und ist pseudometrisierbar durch die Pseudometrik, die beliebigen zwei Punkten den Abstand 0 zuordnet.
- Jeder Filter konvergiert in der trivialen Topologie gegen jeden Punkt, dies charakterisiert die triviale Topologie.
Siehe auch
Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 09.02. 2021