Gröbere und feinere Topologien

Gröbere und feinere Topologien sind in dem mathematischen Teilgebiet der Topologie spezielle Mengensysteme, die in einer gewissen Beziehung zueinander stehen. Dabei heißt eine Topologie eine gröbere Topologie als eine andere Topologie, wenn sie in dieser enthalten ist, und eine feinere Topologie, wenn sie diese enthält.

Definition

Gegeben sei eine Menge , versehen mit zwei Topologien $\tau _{1}$ und $\tau _{2}$ . Ist

$\tau _{1}\subset \tau _{2}$ ,

so heißt die Topologie $\tau _{2}$ stärker oder feiner als $\tau _{1}$ . Umgekehrt wird dann $\tau _{1}$ schwächer oder gröber als $\tau _{2}$ genannt.

Beispiele

Für ein gegebenes ist die triviale Topologie

$\tau _{1}:=\{X,\emptyset \}$

die gröbste mögliche Topologie und somit in jeder weiteren Topologie enthalten. Dies gilt bereits aufgrund der Definition einer Topologie, die immer die Grundmenge und die leere Menge enthalten muss.

Umgekehrt ist die diskrete Topologie

$\tau _{2}:={\mathcal {P}}(X)$

die feinste Topologie, da sie per Definition der Potenzmenge alle Teilmengen der Grundmenge enthält. Es kann somit keine Topologie geben, die echt mehr Mengen als $\tau _{2}$ enthält.

Ein nichttriviales Beispiel von gröberen und feineren Topologien sind die schwache Topologie und die Normtopologie auf normierten Räumen. Dabei ist die schwache Topologie als Initialtopologie definiert: Sie ist die gröbste Topologie auf dem Grundraum , so dass alle linearen normstetigen Funktionale auf stetig sind. Die Normtopologie wird hingegen von den Norm-Kugeln

$U_{\epsilon }(x):=\{y\in X\mid \|x-y\|<\epsilon \}$

erzeugt. Die schwache Topologie ist dann, wie der Name schon sagt, schwächer (bzw. gröber) als die Normtopologie.

Eigenschaften

Für zwei Topologien $\tau _{1}$ und $\tau _{2}$ auf einer Menge gilt: Es ist $\tau _{2}\subseteq \tau _{1}$ genau dann, wenn die identische Abbildung $\operatorname {id} _{X}\colon (X,\tau _{1})\to (X,\tau _{2}),x\mapsto x$ stetig ist.

In metrischen Räumen und normierten Räumen vererben sich viele Eigenschaften von den Metriken bzw. den Normen auf die entsprechenden Topologien. Ist beispielsweise die Norm $\|\cdot \|_{1}$ auf eine stärkere Norm als $\|\cdot \|_{2}$ , so ist die von $\|\cdot \|_{1}$ induzierte Normtopologie feiner als die von $\|\cdot \|_{2}$ induzierte Normtopologie. Die analoge Aussage gilt auch für die von Metriken erzeugten Topologien.

Allgemein gilt: feinere Topologien haben

mehr offene Mengen
mehr abgeschlossene Mengen
mehr stetige Abbildungen in beliebige weitere topologische Räume
weniger stetige Abbildungen von beliebigen weiteren topologischen Räumen
weniger kompakte Mengen und
weniger konvergente Folgen

Verband der Topologien

Ist eine Menge, so lässt sich auf natürliche Weise durch Inklusion eine Halbordnung auf ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X))$ definieren. Diese Halbordnungsstruktur vererbt sich auf die Menge

${\mathcal {T}}:=\{\tau \mid \tau {\text{ ist Topologie auf }}X\}$ .

Es gilt sogar noch mehr: ${\mathcal {T}}$ wird bezüglich der durch die Inklusion induzierten Halbordnung zu einem vollständigen Verband:

Man definiert dazu für zwei Topologien $\tau ,\sigma \in {\mathcal {T}}$

$\tau \wedge \sigma$ als den Schnitt $\tau \cap \sigma$ sowie

$\tau \vee \sigma$ als die von $\tau \cup \sigma$ erzeugte Topologie,

da die Vereinigung von Topologien im Allgemeinen nur die Subbasis einen Topologie liefert. Weiter definiert man für beliebige und damit insbesondere unendliche Familien $(\tau _{i})_{i\in I}\subseteq {\mathcal {T}}$

$\bigwedge _{i\in I}\tau _{i}$ als den Schnitt $\bigcap _{i\in I}\tau _{i}$ sowie

$\bigvee _{i\in I}\tau _{i}$ als die von der Subbasis $\bigcup _{i\in I}\tau _{i}$ erzeugte Topologie.

Als vollständiger Verband ist $\mathcal T$ auch beschränkt, in diesem Falle durch die diskrete Topologie einerseits und die indiskrete Topologie andererseits. Der Verband $\mathcal T$ ist jedoch nicht distributiv.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de