Satz von Hopf-Rinow

Der Satz von Hopf-Rinow ist eine zentrale Aussage aus der riemannschen Geometrie. Er besagt, dass bei riemannschen Mannigfaltigkeiten die Begriffe der geodätischen Vollständigkeit und der Vollständigkeit im Sinne von metrischen Räumen zusammenfallen. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit dieser Eigenschaft heißt dann vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit. Benannt ist der Satz nach den Mathematikern Heinz Hopf und seinem Schüler Willi Rinow.

Geodätisch vollständige Mannigfaltigkeit

Eine zusammenhängende Riemann’sche Mannigfaltigkeit (M,g) heißt geodätisch vollständig, falls für alle p\in M die Exponentialabbildung \exp _{p} für alle v\in T_{p}M definiert ist. Das heißt, für jeden Punkt p\in M und jeden Tangentialvektor v\in T_{p}M ist die Geodäte \gamma mit \gamma (0)=p und {\dot {\gamma }}(0)=v auf ganz \mathbb {R} definiert.

Satz von Hopf und Rinow

Sei (M,g) eine endlichdimensionale, zusammenhängende Riemann’sche Mannigfaltigkeit. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

  1. Die Mannigfaltigkeit M ist geodätisch vollständig.
  2. Es existiert ein p\in M, so dass \exp _{p} für alle v\in T_{p}M definiert ist.
  3. Die Mannigfaltigkeit M ist vollständig als metrischer Raum.
  4. Die Heine-Borel-Eigenschaft gilt. Das heißt jede abgeschlossene und beschränkte Teilmenge ist kompakt.

Aus diesen vier äquivalenten Aussagen lässt sich eine weitere folgern.

Die Abstandsfunktion d(p,q) ist hierbei definiert als das Infimum über die Bogenlängen aller stückweise differenzierbaren Kurven \gamma mit \gamma (a)=p und \gamma (b)=q; das heißt, es gilt

{\displaystyle d(p,q)=\inf _{\gamma }\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}\left({\frac {d\gamma (t)}{dt}},{\frac {d\gamma (t)}{dt}}\right)}}\,{d}t.}

Diese Abstandsfunktion macht M zu einem metrischen Raum.

Korollare

Beispiele

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 30.09. 2019