Orthogonalsystem

In der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis, Teilgebieten der Mathematik, ist ein Orthogonalsystem eine Menge von Vektoren eines Vektorraums mit Skalarprodukt (Prähilbertraum), die paarweise aufeinander senkrecht stehen. Sind die Vektoren zusätzlich noch normiert (d.h, sie haben die Norm 1), so spricht man von einem Orthonormalsystem.

Definition

Eine Teilmenge M eines Prähilbertraums V heißt Orthogonalsystem, wenn gilt:

  1. Je zwei verschiedene Vektoren aus M sind zueinander orthogonal: \forall v,w \in M : v \ne w \Rightarrow \langle v, w \rangle = 0
  2. Der Nullvektor ist nicht in der Menge enthalten.

Hier bezeichnet  \langle v, w \rangle das Skalarprodukt des Raums V, im euklidischen Raum also das Standardskalarprodukt.

Gilt zusätzlich

Jeder Vektor aus M ist normiert, d.h. \forall v \in M : \langle v, v \rangle = 1,

so nennt man M ein Orthonormalsystem.

Eigenschaften

Beispiele

x \mapsto 1 und x \mapsto x - \frac12
ein Orthogonalsystem.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 16.02. 2019