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Jacobi-Identität

In der Mathematik erfüllt eine bilineare Abbildung F: V \times V \rightarrow V auf dem Vektorraum V die Jacobi-Identität (nach Carl Jacobi) falls gilt:

F(F(x,y),z) + F(F(y,z),x) + F(F(z,x),y) = 0 \; \forall \, x,y,z \in V.

Ist die bilineare Abbildung antisymmetrisch, so handelt es sich um eine Lie-Klammer. Wichtige Beispiele sind der Kommutator linearer Abbildungen, das Vektorprodukt und die Poisson-Klammer.

Andere Schreibweisen

Es sei im Folgenden

[{\cdot},{\cdot}]\colon V\times V\to V,\quad (x,y)\mapsto[x,y]

eine alternierende bilineare Abbildung. Die Jacobi-Identität ist dann äquivalent dazu, dass diese Abbildung die Struktur einer Liealgebra auf V definiert.

Dann kann die Jacobi-Identität auf folgende Arten umgeschrieben werden:

Anders gesagt: die Abbildung
a\mapsto[x,a]
ist eine Derivation bezüglich des Produktes [,].
Anders gesagt: Mit der Notation
\mathrm{ad}(a)\colon V\to V, \quad x\mapsto\mathrm{ad}(a)(x)=[a,x]
gilt
\mathrm{ad}([a,b])=[\mathrm{ad}(a),\mathrm{ad}(b)];
dabei ist die Klammer auf der rechten Seite der Kommutator in der Endomorphismenalgebra von V. Anders gesagt: Die Abbildung
\mathrm{ad}\colon V\to\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}\,V,\quad a\mapsto\mathrm{ad}(a)
ist eine Darstellung der Liealgebra V auf sich selbst. Sie heißt die adjungierte Darstellung.
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Basierend auf einem Artikel in: Extern Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 18.09. 2019