Adjungierte Darstellung
In der Mathematik spielen die adjungierten Darstellungen von Lie-Gruppen und Lie-Algebren eine wichtige Rolle in Differentialgeometrie, Darstellungstheorie und Mathematischer Physik.
Lie-Gruppen und Lie-Algebren
Eine Lie-Gruppe ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion beliebig oft differenzierbar sind.
Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist der Vektorraum der links-invarianten Vektorfelder mit dem Kommutator als Lie-Klammer. Die Lie-Algebra kann auf kanonische Weise mit dem Tangentialraum im neutralen Element der Lie-Gruppe identifiziert werden:
- .
Adjungierte Darstellungen
Sei eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra .
Die Konjugation mit einem Element ist die durch
definierte Abbildung .
Die adjungierte Darstellung
ist der durch
für alle definierte Lie-Gruppen-Homomorphismus.
Ebenfalls als adjungierte Darstellung bezeichnet wird der induzierte Lie-Algebren-Homomorphismus
- .
Weil es nach den Lie'schen Sätzen zu jeder endlich-dimensionalen reellen Lie-Algebra eine bis auf Isomorphismus eindeutige einfach zusammenhängende Lie-Gruppe mit gibt, lässt sich die adjungierte Darstellung für jede solche Lie-Algebra definieren.
Explizite Beschreibung
Die adjungierte Darstellung einer Lie-Algebra entspricht dem Anwenden der Lie-Klammer: es gilt
für alle .
Für Matrix-Gruppen, d.h. abgeschlossene Untergruppen von , lässt sich auch die adjungierte Darstellung der Lie-Gruppe explizit beschreiben: nach der kanonischen Identifizierung von mit einer Teilmenge von gilt
für alle .
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 04.10. 2018