Vektorfeld


In der mehrdimensionalen Analysis und der Differentialgeometrie ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Das duale Konzept zu einem Vektorfeld ist eine Funktion, die jedem Punkt eine Linearform zuordnet, eine solche Abbildung wird pfaffsche Form genannt.
Stetige Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der physikalischen Feldtheorie, zum Beispiel um die Geschwindigkeit und Richtung eines Teilchens einer bewegten Flüssigkeit anzugeben, oder um die Stärke und Richtung einer Kraft, wie der magnetischen oder der Schwerkraft, zu beschreiben. Die Feldgrößen dieser Vektorfelder lassen sich durch Feldlinien veranschaulichen.
Vektorfelder im euklidischen Raum
Definition
Unter einem Vektorfeld
auf einer Menge
versteht man eine Abbildung, die jedem Punkt
einen Vektor
zuordnet. Anschaulich wird also an jedem Punkt der Menge
ein „Pfeil angebracht“. Meist wird stillschweigend vorausgesetzt, dass das
Vektorfeld glatt,
also eine
-Abbildung
ist. Ist
eine
-mal
differenzierbare
Abbildung
,
so spricht man von einem
-Vektorfeld.
Beispiele
- Gradientenfeld: Ist
eine differenzierbare Funktion auf einer offenen Menge
, so wird das Gradientenfeld
von
definiert durch die Zuordnung
.
- Oft schreibt man es mit dem Nabla-Symbol:
. Ist ein Vektorfeld
das Gradientenfeld einer Funktion
, das heißt
, so bezeichnet man
als Potential. Man sagt auch
besitzt ein Potential.
- Beispiele von Gradientenfeldern sind das von einer Punktquelle nach allen Seiten gleichmäßig fließende Feld einer Strömung und das elektrische Feld um eine Punktladung.
- Zentralfelder: Sei
ein Intervall, welches die Null enthält, und
eine Kugelschale. Zentralfelder auf der Kugelschale sind definiert durch
mit
.
- In
ist das Gravitationsfeld
ein solches Zentralfeld.
- Weitere Beispiele sind im
die mathematisch diffizileren sogenannten „Wirbelfelder“. Sie lassen sich als Rotation eines Vektorpotentials
beschreiben, nach der Formel
(s.u.).
- Prägnantes Beispiel eines Wirbelfeldes ist das in Kreislinien um den Ausfluss einer „Badewanne“ herumwirbelnde Strömungsfeld, oder das Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Draht.
Quellenfreie und wirbelfreie Vektorfelder; Zerlegungssatz
Ein mindestens zweimal stetig differenzierbares Vektorfeld
im
heißt quellenfrei
(beziehungsweise wirbelfrei),
wenn seine Quellendichte (Divergenz)
beziehungsweise Wirbeldichte (Rotation)
dort überall Null ist. Unter der weiteren Voraussetzung, dass die Komponenten
von
im Unendlichen hinreichend rasch verschwinden, gilt der sogenannte
Zerlegungssatz: Jedes Vektorfeld
ist eindeutig durch seine Quellen bzw. Wirbel bestimmt, und zwar gilt die
folgende Zerlegung in einen wirbelfreien beziehungsweise quellenfreien Anteil:
.
Dies entspricht der Zerlegung eines statischen elektromagnetischen Feldes in
den elektrischen beziehungsweise magnetischen Anteil (siehe Elektrodynamik)[1].
Es sind also genau die Gradientenfelder (d.h. die „elektrischen
Feldkomponenten“) wirbelfrei bzw. genau die Wirbelfelder (d.h. die
„magnetischen Feldkomponenten“) quellenfrei. Dabei sind
und
die bekannten, mit dem Nabla-Operator (
)
der Vektoranalysis
gebildeten Operationen.
Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten
Definition
Sei
eine differenzierbare
Mannigfaltigkeit. Ein Vektorfeld ist ein (glatter) Schnitt im
Tangentialbündel
.
Ausführlicher heißt das, ein Vektorfeld ist eine Abbildung ,
so dass
mit
gilt. Es wird also jedem
ein Vektor
zugeordnet. Die Abbildung
ist die natürliche Projektion
mit
.
Anmerkungen
Diese Definition verallgemeinert die Vektorfelder im euklidischen Raum. Es
gilt nämlich
und
.
Im Gegensatz zu Vektorfeldern wird durch ein Skalarfeld jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Skalar zugeordnet.
Vektorfelder sind gerade die kontravarianten Tensorfelder erster Stufe.
Anwendungen
Vektor- und Kraftfelder haben außer in Physik und Chemie auch große Bedeutung in zahlreichen Fachgebieten der Technik: Elektrotechnik, Geodäsie, Mechanik, Atomphysik, Angewandte Geophysik.
Literatur
- Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. korrigierte Auflage. Springer, Berlin u.a. 2004, ISBN 3-540-20389-3.



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 14.02. 2021