Tensorfeld
Ein Tensorfeld (unpräzise auch Tensor genannt) wird im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie im Besonderen in der Tensoranalysis untersucht. Es handelt sich um eine Funktion, die auf spezielle Weise jedem Punkt eines zugrundeliegenden Raumes einen Tensor zuordnet.
Definition
Sei
eine glatte
Mannigfaltigkeit und
ein (r,s)-Tensorbündel.
Ein (r,s)-Tensorfeld ist ein glatter Schnitt
im Tensorbündel
.
Die Menge der Tensorfelder wird mit
bezeichnet. Diese Menge ist ein Modul
über der Algebra
der glatten
Funktionen.
Beispiele
Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so ist ein Tensorfeld auf M eine Abbildung, die jedem Punkt einen Tensor zuordnet.
- Riemannsche Metriken sind (0,2)-Tensorfelder.
- Der riemannsche Krümmungstensor ist ein (1,3)-Tensorfeld, das mithilfe der riemannschen Metrik als ein (0,4)-Tensorfeld aufgefasst werden kann.
- Differentialformen
vom Grad k, insbesondere das totale
Differential einer Funktion im Fall k=1, sind Schnitte von
Hierbei bezeichnet
das Kotangentialbündel. Für weitere Informationen siehe auch unter Äußere Algebra nach.
- Der Energie-Impuls-Tensor
und der elektromagnetische Feldstärketensor
(als Beispiel eines Feldstärketensors) in der Relativitätstheorie sind Tensorfelder zweiter Stufe auf der vierdimensionalen Basis des Minkowski-Raums.
- die Spin-Gruppe, deren Darstellungen die oft verwendeten Spinorfelder sind, wird üblicherweise als Teilmenge der Tensorfelder mit Werten in der Clifford-Algebra konstruiert.



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 03.10. 2022