Tangentialbündel

Tangentialbündel ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie und Differentialtopologie. Es handelt sich um die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume. Hat das Tangentialbündel eine besonders einfache Struktur, dann nennt man die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit parallelisierbar.
Definition
Das Tangentialbündel
einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit
ist ein Vektorbündel.
Als Menge
ist es als die disjunkte
Vereinigung aller Tangentialräume
von
definiert:
Die Vektorraumstruktur in den
Fasern
ist die von den Tangentialräumen geerbte Struktur.
Ist M eine -dimensionale
differenzierbare Mannigfaltigkeit und U eine offene, zusammenziehbare
Umgebung von
,
dann ist TU diffeomorph zu
das heißt lokal ist das Tangentialbündel TM diffeomorph zu
.
Ein Tangentialbündel erhält durch die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit
wieder eine differenzierbare Struktur. Man nennt einen Atlas des
Tangentialbündels, in dem alle Karten die Form
haben, eine lokale Trivialisierung. Die Topologie und differenzierbare
Struktur bekommt das Tangentialbündel durch eine lokale Trivialisierung.
Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit trivialem Tangentialbündel (das heißt
ist als Bündel isomorph zu
)
nennt man parallelisierbar.
Beispiele
Parallelisierbare Mannigfaltigkeiten
, das Tangentialbündel ist
- Sei
die 1-Sphäre. Das Tangentialbündel ist der unendlich lange Zylinder, das heißt
- Jede endlichdimensionale Lie-Gruppe
, denn man kann eine Basis für den Tangentialraum
am neutralen Element
wählen und dann durch die Gruppenwirkung über ganz
transportieren, um eine Trivialisierung von
zu erhalten.
- Jede orientierbare
geschlossene
-Mannigfaltigkeit.
Nichttriviale Tangentialbündel
mit
, denn nach dem Satz vom Igel gibt es auf der
-Sphäre kein nirgendwo verschwindendes, stetiges tangentiales Vektorfeld.
- Raoul Bott und John Milnor bewiesen 1958 als Konsequenz aus dem Bott-Periodizitätssatz,
dass
und
die einzigen parallelisierbaren Sphären sind.
Natürliche Projektion
Die natürliche Projektion ist eine glatte Abbildung
definiert durch
Dabei ist
und
.
Es gilt also
für alle
.
Kotangentialbündel
Analog zum Tangentialbündel ist auch das Kotangentialbündel definiert. Sei
eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
ihr Tangentialraum am Punkt
,
so wird mit
der Dualraum des Tangentialraums,
den man Kotangentialraum
nennt, bezeichnet. Das Kotangentialbündel
von
ist nun als disjunkte Vereinigung der Kotangentialräume definiert. Das heißt, es
gilt
Auch auf dem Kotangentialbündel lässt sich auf natürliche Weise wieder eine differenzierbare Struktur definieren.
Einheits-Tangentialbündel
Das Einheits-Tangentialbündel einer riemannschen
Mannigfaltigkeit
mit riemannscher Metrik
besteht aus allen Tangentialvektoren der Länge 1:
Das Einheits-Tangentialbündel ist ein Faserbündel, aber kein Vektorraumbündel. Da die Fasern
diffeomorph zu einer Sphäre sind, spricht man auch von einem Sphärenbündel.
Vektorfelder
Ein Vektorfeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
ist eine Abbildung
,
die jedem Punkt
einen Tangentialvektor
mit Fußpunkt
zuordnet. In der Differentialtopologie und der Differentialgeometrie betrachtet
man vor allem glatte Vektorfelder, also solche, die glatte
Abbildungen von
nach
sind.



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 03.04. 2023