Website durchsuchen

Differentiationsklasse

Die Differentiationsklasse ist ein Begriff aus der Mathematik, insbesondere aus dem Teilgebiet der Analysis. Sie ist ein Funktionenraum und umfasst alle Funktionen, die mindestens k-mal stetig differenzierbar sind, wobei k eine natürliche Zahl ist. Notiert wird die Differentiationsklasse meist mittels C^{k}.

Definition

Sei k\in \mathbb{N} \cup \{0\} eine Zahl und D\subset \mathbb {R} eine nichtleere, offene Teilmenge der reellen Zahlen. Eine stetige Funktion f\colon D\to \mathbb {R} gehört dann zur Differentiationsklasse C^{k}(D) beziehungsweise genauer {\displaystyle C^{k}(D,\mathbb {R} )}, wenn f auf ganz D mindestens k-mal stetig differenzierbar ist.

Entsprechend der Definition wird mit {\displaystyle C(D):=C^{0}(D)} die Klasse der stetigen Funktionen und mit C^{\infty }(D) die Differentiationsklasse der beliebig oft differenzierbaren Funktionen bezeichnet.

Verallgemeinerungen

Die Klasse der analytischen Funktionen wird manchmal in Analogie zu obiger Definition mit C^\omega(D) bezeichnet.

Für stetige Funktionen {\displaystyle g\colon {\tilde {D}}\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} im mehrdimensionalen euklidischen Vektorraum wird die Definition analog übernommen. Die Funktion g gehört also zur Differentiationsklasse {\displaystyle C^{k}({\tilde {D}},\mathbb {R} ^{m})}, wenn sie auf ganz {\tilde  {D}} mindestens k-mal stetig differenzierbar ist.

Wenn sich die Anzahl der möglichen Differentiationen ({\displaystyle k,l,..}) bei mehrdimensionalen Funktionen zwischen den einzelnen Variablen unterscheidet, so kann dem in einer Verallgemeinerung der obigen Notation Rechnung getragen werden: {\displaystyle C^{k,l,..}(D).}

Auch für Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten werden die C^{k}-Differentiationsklassen analog definiert.

Teilmengenrelation

Sei D\subset \mathbb{R} ^{n} eine offene Teilmenge, dann gilt

{\displaystyle C^{\omega }(D)\subset C^{\infty }(D)\subset \dotsb \subset C^{k}(D)\subset \dotsb \subset C^{1}(D)\subset C^{0}(D)}.

Je höher also der Index k der Differentiationsklasse ist, desto weniger Funktionen umfasst sie.

Beispiele

Genügend glatt

Im Zusammenhang mit der Differenzierbarkeit wird manchmal davon gesprochen, dass eine Funktion genügend glatt sei. Dies bedeutet, dass im jeweiligen Kontext genügend oft differenzierbar ist, man sich also sozusagen keine zusätzlichen Gedanken um die Differenzierbarkeit machen muss. Der Begriff leitet sich aus der Bezeichnung glatte Funktion für eine beliebig oft differenzierbare Funktion ab.

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 10.01. 2021