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Derivation (Mathematik)

In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik bezeichnet man Abbildungen als Derivationen, wenn sie die Leibnizregel erfüllen. Das Konzept der Derivationen ist eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Ableitung.

Definition

Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins, beispielsweise ein Körper wie \mathbb {R} oder \mathbb {C} . Außerdem sei A eine R-Algebra. Eine (R-lineare) Derivation von A ist eine R-lineare Abbildung D\colon A\to A, die

D(a_{1}a_{2})=D(a_{1})a_{2}+a_{1}D(a_{2}) für alle a_{1},a_{2}\in A

erfüllt. Die Eigenschaft R-linear besagt, dass für alle a_{1},a_{2}\in A und r \in R die Gleichungen

D(a_{1}+a_{2})=D(a_{1})+D(a_{2})

und

D(ra_{1})=rD(a_{1})

gelten. Die Definition schließt Ringe A ein, indem man sie als \mathbb {Z} -Algebren auffasst. Bildet D in einen Modul oder Bimodul ab, so kann man die Definition analog angeben.

Allgemeine Eigenschaften

[D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.

Beispiele

\sum a_{i}X^{i}\mapsto \sum ia_{i}X^{{i-1}}
eine R-lineare Derivation von A mit Werten in A.
[X,[A,B]]=[[X,A],B]+[A,[X,B]].

Derivationen und Kähler-Differentiale

Per definitionem werden R-lineare Derivationen einer kommutativen Algebra A durch den Modul \Omega _{{A/R}} der Kähler-Differentiale klassifiziert, d.h., es gibt eine natürliche Bijektion zwischen den R-linearen Derivationen von A mit Werten in einem A-Modul M und den A-linearen Abbildungen \Omega _{{A/R}}\to M. Jede Derivation D\colon A\to M entsteht als Verkettung der universellen Derivation {\mathrm  d}\colon A\to \Omega _{{A/R}} mit einer A-linearen Abbildung \Omega _{{A/R}}\to M.

Antiderivationen

Definition

Ist A eine \mathbb {Z} - oder \mathbb Z/2\mathbb Z-graduierte R-Algebra, so heißt eine R-lineare graduierte Abbildung D\colon A\to A eine Antiderivation, wenn

D(a_{1}a_{2})=D(a_{1})a_{2}+(-1)^{{|a_{1}|}}\cdot a_{1}D(a_{2})

für alle homogenen Elemente a_{1},a_{2}\in A gilt; dabei bezeichnet |a_{1}| den Grad von a_{1}.

Beispiele

\mathrm d(\omega\wedge\eta)=\mathrm d\omega\wedge\eta+(-1)^{|\omega|}\cdot\omega\wedge\mathrm d\eta.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 31.08. 2020