Reflexive Relation

Drei reflexive Relationen, als gerichtete Graphen dargestellt

Die Reflexivität einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn x R x für alle Elemente x der Menge gilt (also jedes Element in Relation zu sich selbst steht). Man nennt R dann reflexiv. Die Relation heißt irreflexiv, wenn die Beziehung x R x für kein Element x der Menge gilt (also kein Element in Relation zu sich selbst steht). Es gibt Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind.

Die Reflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation; die Irreflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine strikte Ordnungsrelation.

Formale Definition

Ist M eine Menge und R\subseteq M\times M eine zweistellige Relation auf M, dann definiert man (unter Verwendung der Infixnotation):

R ist reflexiv :\Longleftrightarrow \forall x\in M:xRx
R ist irreflexiv :\Longleftrightarrow \forall x\in M:\neg \ xRx

Beispiele

Reflexiv

Irreflexiv

Weder reflexiv noch irreflexiv

Darstellung als gerichteter Graph

Jede beliebige Relation R auf einer Menge M kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (Beispiel siehe oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von M. Vom Knoten a zum Knoten b wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil a\longrightarrow b) gezogen, wenn aRb\ gilt.

Die Reflexivität von R lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Für jeden Knoten a gibt es eine Schleife {\stackrel  {a}\circlearrowright } . Entsprechend ist die Irreflexivität dadurch gegeben, dass es für keinen Knoten a eine Schleife {\stackrel  {a}\circlearrowright } gibt.

Eigenschaften

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.02. 2021