Teilersumme

Unter der Teilersumme \sigma einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.

Beispiel:

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme für 6 lautet also {\displaystyle 1+2+3+6=12}.

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z.B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

Definitionen

Definition 1: Summe aller Teiler

Seien t_{1},t_{2},...,t_{k} alle Teiler der natürlichen Zahl n, dann nennt man \sigma (n)=t_{1}+t_{2}+...+t_{k} die Teilersumme von n. Dabei sind 1 und n selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion \sigma heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.

Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:

\sigma (6)=1+2+3+6=12

Definition 2: Summe der echten Teiler

Die Summe der echten Teiler der natürlichen Zahl n ist die Summe der Teiler von n ohne die Zahl n selbst und wir bezeichnen diese Summe mit \sigma ^{*}(n).

Beispiel:

\sigma ^{*}(6)=1+2+3=6

Offensichtlich gilt die Beziehung:

\sigma (n)-n=\sigma ^{*}(n)

Definition 3: defizient, abundant, vollkommen

Eine natürliche Zahl n>1 heißt

defizient oder teilerarm, wenn \sigma ^{*}(n)<n,
abundant oder teilerreich, wenn \sigma ^{*}(n)>n,
vollkommen, wenn \sigma ^{*}(n)=n.

Beispiele:

\sigma ^{*}(6)=1+2+3=6, d.h. 6 ist eine vollkommene Zahl.
\sigma ^{*}(12)=1+2+3+4+6=16>12, d.h. 12 ist abundant.
\sigma ^{*}(10)=1+2+5=8<10, d.h. 10 ist defizient.

Eigenschaften der Teilersumme

Satz 1: Teilersumme einer Primzahl

Sei n eine Primzahl. Dann gilt:

\sigma (n)=n+1

Beweis: Da n eine Primzahl ist, sind 1 und n die einzigen Teiler. Daraus folgt die Behauptung.

Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl

Sei n eine Primzahl. Dann gilt:

\sigma (n^{k})={\frac  {n^{{k+1}}-1}{n-1}}

Beweis: Da n eine Primzahl ist, hat n^{k} nur die folgenden Teiler: {\displaystyle n^{0},n^{1},\ldots ,n^{k}}. Die Summe ist eine geometrische Reihe. Aus der Summenformel für eine geometrische Reihe folgt sofort die Behauptung.

Beispiel:

\sigma (2^{3})={{2^{4}-1} \over {2-1}}={{16-1} \over 1}=15
\sigma (8)=1+2+4+8=15

Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen

Seien a und b verschiedene Primzahlen. Dann gilt:

\sigma (a\cdot b)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)

Beweis: Die Zahl ab besitzt die vier verschiedenen Teiler 1, a, b und ab. Daraus folgt:

\sigma (a\cdot b)=1+a+b+ab=(a+1)(b+1)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)

Beispiel:

\sigma (3\cdot 5)=\sigma (15)=1+3+5+15=24
\sigma (3)\cdot \sigma (5)=(1+3)\cdot (1+5)=4\cdot 6=24

Satz 4: Verallgemeinerung von Satz 2 und Satz 3

Seien p_{1},p_{2},...,p_{r} verschiedene Primzahlen und k_{1},k_{2},...,k_{r} natürliche Zahlen. Ferner sei n=p_{1}^{{k_{1}}}\cdot p_{2}^{{k_{2}}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{{k_{r}}}. Dann gilt:

\sigma (n)={\frac  {p_{1}^{{k_{1}+1}}-1}{p_{1}-1}}\cdot \ldots \cdot {\frac  {p_{r}^{{k_{r}+1}}-1}{p_{r}-1}}

Satz von Thabit

Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine feste natürliche Zahl n seien {\displaystyle x=3\cdot 2^{n}-1,y=3\cdot 2^{n-1}-1} und {\displaystyle z=9\cdot 2^{2n-1}-1}.

Wenn x, y und z Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen {\displaystyle a=2^{n}xy} und {\displaystyle b=2^{n}z} befreundet, d.h. \sigma ^{*}(a)=b und \sigma ^{*}(b)=a.

Beweis
 
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{*}(a)&=\sigma (a)-a\\&=\sigma (2^{n}\cdot x\cdot y)-a\\&=(2^{n+1}-1)(x+1)(y+1)-a\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &&{\text{(Satz 4)}}\\&=(2^{n+1}-1)(3\cdot 2^{n})(3\cdot 2^{n-1})-2^{n}(3\cdot 2^{n}-1)(3\cdot 2^{n-1}-1)\\&=(2^{n+1}-1)\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-6\cdot 2^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2\cdot 2^{n}\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n}\cdot 2^{n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2^{n}(18\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}-9\cdot 2^{2n-1}+9\cdot 2^{n-1}-1)\\&=2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1)\\&=2^{n}\cdot z\\&=b\end{aligned}}}

Analog zeigt man \sigma ^{*}(b)=a.

Teilersumme als endliche Reihe

Für jede natürliche Zahl n kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von n explizit Bezug genommen wird:

\sigma (n)=\sum _{{\mu =1}}^{n}\sum _{{\nu =1}}^{\mu }\cos {2\pi {\frac  {\nu n}{\mu }}}

Beweis: Die Funktion

T(n,\mu )={\frac  {1}{\mu }}\sum _{{\nu =1}}^{\mu }\cos 2\pi {\frac  {\nu n}{\mu }},\quad n=1,2,\dots ,\quad \mu =1,2,\dots

wird 1, wenn \mu ein Teiler von n ist, ansonsten bleibt sie Null. Zunächst gilt

T(n,\mu )={\frac  {1}{\mu }}\lim _{{x\to n}}\sum _{{\nu =1}}^{\mu }\cos 2\pi {\frac  {\nu x}{\mu }}=\lim _{{x\to n}}{\frac  {1}{2\mu }}\left(\sin 2\pi x\cot {\frac  {\pi x}{\mu }}-1+\cos 2\pi x\right)=\lim _{{x\to n}}{\frac  {\sin 2\pi x\cos {\frac  {\pi x}{\mu }}}{2\mu \sin {\frac  {\pi x}{\mu }}}}

Der Zähler im letzten Ausdruck wird stets Null, wenn x\to n geht. Der Nenner kann nur dann Null werden, wenn \mu ein Teiler von n ist. Dann ist aber

\lim _{{x\to n}}{\frac  {\sin 2\pi x\cos {\frac  {\pi x}{\mu }}}{2\sin {\frac  {\pi x}{\mu }}}}=\cos {\frac  {\pi n}{\mu }}\lim _{{x\to n}}{\frac  {\sin 2\pi x}{2\sin {\frac  {\pi x}{\mu }}}}\;=\;\cos {\frac  {\pi n}{\mu }}\lim _{{x\to n}}{\frac  {2\pi \cos 2\pi x}{2{\frac  {\pi }{\mu }}\cos {\frac  {\pi x}{\mu }}}}\;=\;\mu

Nur in diesem Fall wird T(n,\mu )=1, wie oben behauptet.

Multipliziert man jetzt T(n,\mu ) mit \mu ^{k} und summiert das Produkt über alle Werte \mu =1 bis \mu =n, so entsteht nur dann ein Beitrag \mu ^{k} zur Summe, wenn \mu ein Teiler von n ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion

\sigma _{k}(n)=\sum _{{\mu =1}}^{n}\mu ^{{k-1}}\sum _{{\nu =1}}^{\mu }\cos {2\pi {\frac  {\nu n}{\mu }}},\quad k=0,\pm 1,\dots

deren Spezialfall k=1 die einfache Teilersumme \sigma (n) ist.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 20.01. 2020