Teileranzahlfunktion

Die Teileranzahlfunktion gibt an, wie viele Teiler eine natürliche Zahl hat; dabei werden die Eins und die Zahl selbst mitgezählt. Die Teileranzahlfunktion gehört zum mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie wird meist mit d oder \tau bezeichnet – da sie einen Spezialfall der Teilerfunktion darstellt, auch als \sigma _{0}(n).

d(n) … Anzahl der Teiler von n.
{\displaystyle n_{\mathrm {min} }} … kleinstes n mit d(n) Teilern.
Für {\displaystyle d(n)=37} ist bereits {\displaystyle n>2^{31}}.
d(n) {\displaystyle n_{\mathrm {min} }} Faktorisierung
von {\displaystyle n_{\mathrm {min} }}
1 1 1
2 2 2
3 4 22
4 6 2 · 3
5 16 24
6 12 22 · 3
7 64 26
8 24 23 · 3
9 36 22 · 32
10 48 24 · 3
11 1.024 210
12 60 22 · 3 · 5
13 4.096 212
14 192 26 · 3
15 144 24 · 32
16 120 23 · 3 · 5
17 65.536 216
18 180 22 · 32 · 5
19 262.144 218
20 240 24 · 3 · 5
21 576 26 · 32
22 3.072 210 · 3
23 4.194.304 222
24 360 23 · 32 · 5
25 1.296 24 · 34
26 12.288 212 · 3
27 900 22 · 32 · 52
28 960 26 · 3 · 5
29 268.435.456 228
30 720 24 · 32 · 5
31 1.073.741.824 230
32 840 23 · 3 · 5 · 7
33 9.216 210 · 32
34 196.608 216 · 3
35 5.184 26 · 34
36 1.260 22 · 32 · 5 · 7

Definition

Für jede natürliche Zahl n wird definiert:

{\displaystyle d(n):=\#\{d\colon 1\leq d\leq n{\text{ und }}d\mid n\}}

Die ersten Werte sind:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Teiler von n 1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1, 11 1, 2, 3, 4, 6, 12
d(n) 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

Eigenschaften

{\displaystyle n=p_{1}^{e_{1}}\cdot p_{2}^{e_{2}}\dotsm p_{r}^{e_{r}},}
so gilt:
{\displaystyle d(n)=(e_{1}+1)(e_{2}+1)\dotsm (e_{r}+1)}
{\displaystyle d(mn)=d(m)\cdot d(n)}
Die Teileranzahlfunktion ist also eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
\zeta (s)^{2}=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac  {d(n)}{n^{s}}} (für \operatorname {Re}\,s>1).

Asymptotik

Im Mittel ist d(n)\approx \log n, präziser: Es gibt Konstanten \beta \leq {\tfrac  12}, sodass

\sum _{{n\leq x}}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O(x^{\beta })

gilt. (Dabei sind „O“ ein Landau-Symbol und \gamma die Euler-Mascheroni-Konstante.)

Als Heuristik kann die Erkenntnis dienen, dass eine Zahl d\leq x ein Teiler von etwa {\displaystyle {\tfrac {x}{d}}} Zahlen n\leq x ist, damit wird die Summe auf der linken Seite in etwa zu

x\cdot \sum _{{d=1}}^{{\lfloor x\rfloor }}{\frac  1d}\approx x\log x.

(Zum letzten Schritt siehe harmonische Reihe.)

Der Wert \beta ={\tfrac  12} wurde bereits von P. G. L. Dirichlet bewiesen; die Suche nach besseren Werten ist deshalb auch als dirichletsches Teilerproblem bekannt.

Bessere Werte wurden von G. F. Woronoi (1903, x^{{{\tfrac  13}}}\log x), J. van der Corput (1922, \beta ={\tfrac  {33}{100}}) sowie M. N. Huxley (\beta ={\tfrac  {131}{416}}) angegeben. Auf der anderen Seite zeigten G. H. Hardy und E. Landau, dass \beta \geq {\tfrac  14} gelten muss. Die möglichen Werte für \beta sind immer noch Forschungsgegenstand.

Verallgemeinerungen

Die Teilerfunktion \sigma _{k}(n) ordnet jeder Zahl n die Summe der k-ten Potenzen ihrer Teiler zu:

\sigma _{k}(n)=\sum _{{d\mid n}}d^{k}

Die Teilersumme ist der Spezialfall der Teilerfunktion für k=1, und die Teileranzahlfunktion ist der Spezialfall der Teilerfunktion für k=0:

{\displaystyle \sigma (n)=\sigma _{1}(n)=\sum _{d\mid n}d^{1}=\sum _{d\mid n}d}
{\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{d\mid n}d^{0}=\sum _{d\mid n}1}

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 29.08. 2022