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A4 (Gruppe)

Die A_{4} (alternierende Gruppe 4. Grades) ist eine bestimmte 12-elementige Gruppe, die im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie untersucht wird. Sie steht in enger Beziehung zur symmetrischen Gruppe S_{4}, es handelt sich bei der A_{4} um die Untergruppe, die aus allen geraden Permutationen besteht. Geometrisch entsteht die A_{4} als Gruppe der Drehungen des regelmäßigen Tetraeders auf sich.

Geometrische Einführung

Die Drehungen c und d_{4} des Tetraeders

Betrachtet man die Drehungen, die ein regelmäßiges Tetraeder in sich selbst überführen, so findet man 12 Möglichkeiten:

Spiegelungen werden hier nicht betrachtet. Für die Drehungen wählen wir die folgenden Bezeichnungen:

Diese Drehungen lassen sich durch Hintereinanderausführung kombinieren, wodurch man wieder eine Drehung aus obiger Liste erhält. Man schreibt einfach zwei Drehungen (oft ohne Verknüpfungszeichen, oder mit \cdot oder \circ ) nebeneinander und meint damit, dass zuerst die rechtsstehende und dann die linksstehende Drehung auszuführen ist. Die Schreibweise d_{i}^{2} macht bereits deutlich, dass die Drehung um 240° gleich der zweifachen Hintereinanderausführung der Drehung um 120° ist.

Man erhält auf diese Weise die 12-elementige Gruppe A_{4}=\left\{e,a,b,c,d_{1},d_{1}^{2},d_{2},d_{2}^{2},d_{3},d_{3}^{2},d_{4},d_{4}^{2}\right\} aller Drehungen des regelmäßigen Tetraeders auf sich.

Trägt man alle so gebildeten Verknüpfungen in eine Verknüpfungstafel ein, so erhält man

\,\cdot \,e \,a \,b \,c \,d_{1} \,d_{1}^{2} \,d_{2} \,d_{2}^{2} \,d_{3} \,d_{3}^{2} \,d_{4} \,d_{4}^{2}
\,e \,e \,a \,b \,c \,d_{1} \,d_{1}^{2} \,d_{2} \,d_{2}^{2} \,d_{3} \,d_{3}^{2} \,d_{4} \,d_{4}^{2}
\,a \,a \,e \,c \,b \,d_{4} \,d_{3}^{2} \,d_{3} \,d_{4}^{2} \,d_{2} \,d_{1}^{2} \,d_{1} \,d_{2}^{2}
\,b \,b \,c \,e \,a \,d_{2} \,d_{4}^{2} \,d_{1} \,d_{3}^{2} \,d_{4} \,d_{2}^{2} \,d_{3} \,d_{1}^{2}
\,c \,c \,b \,a \,e \,d_{3} \,d_{2}^{2} \,d_{4} \,d_{1}^{2} \,d_{1} \,d_{4}^{2} \,d_{2} \,d_{3}^{2}
\,d_{1} \,d_{1} \,d_{3} \,d_{4} \,d_{2} \,d_{1}^{2} \,e \,d_{3}^{2} \,b \,d_{4}^{2} \,c \,d_{2}^{2} \,a
\,d_{1}^{2} \,d_{1}^{2} \,d_{4}^{2} \,d_{2}^{2} \,d_{3}^{2} \,e \,d_{1} \,c \,d_{4} \,a \,d_{2} \,b \,d_{3}
\,d_{2} \,d_{2} \,d_{4} \,d_{3} \,d_{1} \,d_{4}^{2} \,b \,d_{2}^{2} \,e \,d_{1}^{2} \,a \,d_{3}^{2} \,c
\,d_{2}^{2} \,d_{2}^{2} \,d_{3}^{2} \,d_{1}^{2} \,d_{4}^{2} \,c \,d_{3} \,e \,d_{2} \,b \,d_{4} \,a \,d_{1}
\,d_{3} \,d_{3} \,d_{1} \,d_{2} \,d_{4} \,d_{2}^{2} \,c \,d_{4}^{2} \,a \,d_{3}^{2} \,e \,d_{1}^{2} \,b
\,d_{3}^{2} \,d_{3}^{2} \,d_{2}^{2} \,d_{4}^{2} \,d_{1}^{2} \,a \,d_{4} \,b \,d_{1} \,e \,d_{3} \,c \,d_{2}
\,d_{4} \,d_{4} \,d_{2} \,d_{1} \,d_{3} \,d_{3}^{2} \,a \,d_{1}^{2} \,c \,d_{2}^{2} \,b \,d_{4}^{2} \,e
\,d_{4}^{2} \,d_{4}^{2} \,d_{1}^{2} \,d_{3}^{2} \,d_{2}^{2} \,b \,d_{2} \,a \,d_{3} \,c \,d_{1} \,e \,d_{4}

Darstellung als Permutationsgruppe

Die oben beschriebenen Drehungen sind bereits dadurch festgelegt, wie die mit 1,2,3 und 4 bezeichneten Ecken aufeinander abgebildet werden. Jedes Element der A_{4} kann daher als Permutation der Menge \{1,2,3,4\} aufgefasst werden. Verwendet man die übliche Zweizeilenform und die Zykelschreibweise, so erhält man:

{\begin{array}{rccclc}e&=&{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{pmatrix}}&=&(1)&{\mathrm  {ord}}(e)=1\\\\a&=&{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{pmatrix}}&=&(1~2)(3~4)&{\mathrm  {ord}}(a)=2\\\\b&=&{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{pmatrix}}&=&(1~3)(2~4)&{\mathrm  {ord}}(b)=2\\\\c&=&{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{pmatrix}}&=&(1~4)(2~3)&{\mathrm  {ord}}(c)=2\\\\d_{1}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&4&2&3\end{pmatrix}}&=&(2~4~3)=(2~4)(4~3)&{\mathrm  {ord}}(d_{1})=3\\\\d_{1}^{2}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&3&4&2\end{pmatrix}}&=&(2~3~4)=(2~3)(3~4)&{\mathrm  {ord}}(d_{1}^{2})=3\\\\d_{2}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{pmatrix}}&=&(1~3~4)=(1~3)(3~4)&{\mathrm  {ord}}(d_{2})=3\\\\d_{2}^{2}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&2&1&3\end{pmatrix}}&=&(1~4~3)=(1~4)(4~3)&{\mathrm  {ord}}(d_{2}^{2})=3\\\\d_{3}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&1&3&2\end{pmatrix}}&=&(1~4~2)=(1~4)(4~2)&{\mathrm  {ord}}(d_{3})=3\\\\d_{3}^{2}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&3&1\end{pmatrix}}&=&(1~2~4)=(1~2)(2~4)&{\mathrm  {ord}}(d_{3}^{2})=3\\\\d_{4}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}}&=&(1~2~3)=(1~2)(2~3)&{\mathrm  {ord}}(d_{4})=3\\\\d_{4}^{2}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}}&=&(1~3~2)=(1~3)(3~2)&{\mathrm  {ord}}(d_{4}^{2})=3\end{array}}

Man sieht hier mit einem Blick, dass jedes Element der A_{4} als ein Produkt aus einer geraden Anzahl von Transpositionen (= Zweierpermutationen) geschrieben werden kann. Die zugehörigen Permutationen nennt man ebenfalls gerade, das heißt die A_{4} besteht genau aus den geraden Permutationen der Menge \{1,2,3,4\}. Damit tritt die A_{4} als Kern der Signum-Abbildung: S_{4}\rightarrow \{-1,1\} auf, wobei S_{4} die symmetrische Gruppe vierten Grades ist.

Eigenschaften

Untergruppen

Die Untergruppen der A_{4}

Sämtliche Untergruppen der A_{4} sind in nebenstehender Zeichnung angegeben.

V:=\{e,a,b,c\} ist zur Kleinschen Vierergruppe isomorph. Gemäß dem Satz von Lagrange teilt die Ordnung einer jeden Untergruppe die Gruppenordnung, in diesem Falle 12. Umgekehrt muss es aber nicht zu jedem Teiler der Gruppenordnung eine Untergruppe dieser Ordnung geben. Die A_{4} ist ein Beispiel für dieses Phänomen, denn sie hat keine Untergruppe der Ordnung 6.

Normalteiler, Auflösbarkeit

Die A_{4} ist nicht abelsch, denn

d_{1}\cdot a\neq a\cdot d_{1}

A_{4} ist aber auflösbar, wie die Reihe

\{e\}\vartriangleleft \{e,a\}\vartriangleleft V\vartriangleleft A_{4}

zeigt. Das Zeichen \vartriangleleft bedeutet “ist Normalteiler in”.

V ist die Kommutatorgruppe von A_{4}, insbesondere also ein Normalteiler und es gilt A_{4}/V\cong \mathbb{Z } /3\mathbb{Z }

Die zwei- und dreielementigen Untergruppen sind keine Normalteiler.

Semidirektes Produkt

Da \left\{e,d_{1},d_{1}^{2}\right\}\cong \mathbb{Z } /3\mathbb{Z } und V teilerfremde Gruppenordnungen haben, folgt aus dem Satz von Schur-Zassenhaus, dass die A_{4} zum semidirekten Produkt V\times _{\theta }\mathbb{Z } /3\mathbb{Z } isomorph ist, wobei \theta :\mathbb{Z } /3\mathbb{Z } \rightarrow {\mathrm  {Aut}}(V) die Restklasse \overline {1}\in \mathbb{Z } /3\mathbb{Z } auf den Automorphismus V\rightarrow V,\,x\mapsto d_{1}xd_{1}^{{-1}} abbildet.

Erzeuger und Relationen

Man kann Gruppen auch dadurch beschreiben, dass man ein Erzeugendensystem und Relationen, die die Erzeuger erfüllen müssen, angibt. Erzeuger und Relationen notiert man, durch das Zeichen | getrennt, in spitzen Klammern. Die Gruppe ist dann die von den Erzeugern erzeugte freie Gruppe modulo dem von den Relationen erzeugten Normalteiler. In diesem Sinne ist:

A_{4}=\left\langle \alpha ,\beta \mid \alpha ^{3},\beta ^{3},\left(\alpha \beta \right)^{2}\right\rangle

Man sieht leicht, dass \alpha =d_{1} und \beta =d_{2}^{2} die Relationen erfüllen und dass d_{1} und d_{2}^{2} die gesamte Gruppe erzeugen, was für den Beweis aber noch nicht ausreicht.

Charaktertafel

Die Charaktertafel der A_{4} sieht wie folgt aus:

A_{4} 1 3 4 4
  1 {\displaystyle (1,2)\,(3,4)} (1,2,3) {\displaystyle (1,3,2)}
\chi _{1} 1 1 1 1
\chi_2 1 1 {\displaystyle \textstyle e^{\frac {2\pi i}{3}}} {\displaystyle \textstyle e^{\frac {4\pi i}{3}}}
\chi_3 1 1 {\displaystyle \textstyle e^{\frac {4\pi i}{3}}} {\displaystyle \textstyle e^{\frac {2\pi i}{3}}}
{\displaystyle \chi _{4}} 3 -1 {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 01.01. 2020