A₅ (Gruppe)

Die im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppe A_5 ist die alternierende Gruppe 5-ten Grades. Sie hat 60 Elemente und ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe und die kleinste nicht-auflösbare Gruppe. Sie findet eine geometrische Realisierung als Gruppe der Rotationen des Ikosaeders.

Definitionen

Der Zykel (234) als Abbildung

Wir betrachten die Menge aller bijektiven Abbildungen der 5-elementigen Menge $\{1,2,3,4,5\}$ in sich. Diese bildet mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen als Verknüpfung eine Gruppe; man nennt diese Verknüpfung auch Produkt und schreibt sie als $\cdot$ oder ganz ohne Verknüpfungszeichen. Dies ist die symmetrische Gruppe $S_{5}$ mit $5!=120$ Elementen.

Solche Abbildungen nennt man Permutationen und verwendet für sie die sogenannte Zykelschreibweise $(i_{1}\ldots i_{k})$ mit verschiedenen Elementen $i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,2,3,4,5\}$ . Die Abbildung $(i_{1}\ldots i_{k})$ bildet jedes Element in der Zykelliste auf das rechts neben ihm stehende ab und schließlich das letzte der Liste auf das erste. Der Zykel $(2\,3\,4)$ bildet also 2 auf 3, 3 auf 4 und 4 auf 2 ab und lässt die Elemente 1 und 5 fest. Ein Zykel $(i\,j)$ der Länge 2 vertauscht demnach nur und und lässt alle anderen Elemente fest, solche Abbildungen nennt man Transpositionen. Verschiedene Zykel können dieselbe Permutation beschreiben, es gilt etwa $(2\,3\,4)=(3\,4\,2)$ , Eindeutigkeit erhält man durch die Vereinbarung, die kleinste im Zykel vorkommende Zahl an den Anfang zu stellen.

Man kann jede Permutation als Produkt von Zykeln schreiben, sogar als Produkt von Transpositionen. Die Darstellung als Produkt von Transpositionen ist nicht eindeutig. Siehe zum Beispiel

$(1\,2\,3)=(1\,2)\cdot (2\,3)=(1\,2)\cdot (2\,3)\cdot (4\,5)\cdot (4\,5)$

Wir verwenden hier die bei Abbildungen übliche Reihenfolge, das heißt zuerst wird die Abbildung $(2\,3)$ angewendet, dann $(1\,2)$ . (Das wird in der Literatur nicht einheitlich so gehandhabt; Autoren, die Operationen und Funktionen auf die rechte Seite der abzubildenden Elemente schreiben, verwenden hier genau die umgekehrte Konvention.) Eindeutig ist aber, ob für die Darstellung einer Permutation als Produkt von Transpositionen eine gerade oder ungerade Anzahl von Transpositionen erforderlich ist, entsprechend nennt man die Permutationen gerade oder ungerade.

Dann ist klar, dass das Produkt von geraden Permutationen wieder gerade ist, denn die Anzahlen der verwendeten Transpositionen addieren sich bei der Verknüpfung. Die geraden Permutation bilden daher eine Untergruppe, das ist die alternierende Gruppe A_5 .

Selbstverständlich sind analoge Begriffsbildungen für $\{1,\ldots ,n\}$ an Stelle von $\{1,2,3,4,5\}$ möglich, das führt dann zur alternierenden Gruppe A_n. In diesem Artikel behandeln wir den Fall n=5 .

Elementare Eigenschaften

Anzahl der Elemente

Ist $\sigma \in S_{5}$ irgendeine Permutation, so ist $(1\,2)\cdot \sigma$ genau dann gerade bzw. ungerade, wenn $\sigma$ ungerade bzw. gerade ist. Also gibt es genauso viele gerade wie ungerade Permutationen und daraus folgt, dass A_5 60 Elemente hat.

Dreierzykel

Ein Dreierzykel, das heißt ein Zykel $(i\,j\,k)$ der Länge drei, ist gerade, denn

$(i\,j\,k)=(i\,j)\cdot (j\,k)$ .

Ein Dreierzykel $(i\,j\,k)$ ist offenbar eine Abbildung, die jedes der Elemente aus $\{i,j,k\}$ auf ein jeweils anderes Element dieser Dreiermenge abbildet und die anderen beiden Elemente aus $\{1,2,3,4,5\}$ fest lässt; davon gibt es genau zwei solcher Abbildungen, nämlich $(i\,j\,k)$ und $(i\,k\,j)$ . Da es insgesamt $\textstyle {\binom {5}{3}}=10$ solcher Dreiermengen gibt, kommen wir insgesamt auf 20 Dreierzykel. Da umgekehrt

$(i\,j)\cdot (j\,k)=(i\,j\,k)$ für i,j,k

paarweise verschieden

$(i\,j)\cdot (k\,l)=(i\,k\,j)\cdot (i\,k\,l)$ für $i,j,k,l$ paarweise verschieden,

ist jede gerade Permutation ein Produkt von Dreierzykeln, das heißt die Gruppe A_5 wird von den Dreierzyklen erzeugt.

Ordnungen

Wie in jeder Gruppe gibt es genau ein Element der Ordnung 1, nämlich das neutrale Element.

Die Elemente der Ordnung 2 erhält man aus Transpositionen, die ja offenbar die Ordnung 2 haben. Da A_5 nur gerade Permutationen enthält, sind die Permutationen der Ordnung 2 genau die Produkte aus zwei elementfremden Transpositionen $(i\,j)\cdot (k\,l)$ mit paarweise verschiedenen $i,j,k,l\in \{1,2,3,4,5\}$ . Es gibt 5 Möglichkeiten für eine Vierermenge $\{i,j,k,l\}\subset \{1,2,3,4,5\}$ (jeweils ein Element gehört nicht dazu) und zu jeder solchen Vierermenge kann man die drei verschiedenen Elemente $(i\,j)\cdot (k\,l),(i\,k)\cdot (j\,l),(i\,l)\cdot (j\,k)\in A_{5}$ der Ordnung 2 bilden, das macht insgesamt $5\cdot 3=15$ Elemente der Ordnung 2.

Die Elemente der Ordnung 3 sind die oben erwähnten 20 Dreierzykel.

Alle Fünferzykel $(i\,j\,k\,l\,m)=(i\,j\,k)\cdot (k\,l\,m)$ sind Produkte aus zwei Dreierzykel und daher Elemente der A_5 und haben offenbar die Ordnung 5. Da alle 5 Zahlen in $(i\,j\,k\,l\,m)$ vorkommen, ist auch die 1 dabei, die man an die erste Stelle setzt. Es gibt daher genau die Fünferzykel $(1\,j\,k\,l\,m)$ mit paarweise verschiedenen $j,k,l,m\in \{2,3,4,5\}$ , und dazu gibt es 4! = 24 Möglichkeiten. Es gibt demnach 24 Elemente der Ordnung 5.

Damit haben wir die Ordnungen von 1+15+20+24 = 60 Elementen bestimmt, es gibt also keine Elemente weiterer Ordnungen. Wir erhalten damit folgende Übersicht:

Ordnung	Anzahl	Typisches Element	Beschreibung
1	1		neutrales Element
2	15	$(i\,j)\cdot (k\,l)$	zwei elementfremde Transpositionen
3	20	$(i\,j\,k)$	Dreierzykel
5	24	$(i\,j\,k\,l\,m)$	Fünferzykel

Präsentation

Eine Präsentation durch Erzeugende und Relationen sieht so aus: Die Gruppe A_5 wird durch zwei Erzeugende x,y und die Relationen

$x^{5}=y^{2}=(xy)^{3}=e$

definiert. Das heißt jede Gruppe, die von zwei Elementen x,y erzeugt wird, die zusätzlich die genannten Relationen erfüllen, ist isomorph zu A_5 .

Die A_5 selbst ist von $x=(1\,2\,3\,4\,5)$ und $y=(1\,2)\cdot (3\,4)$ erzeugt, und diese Elemente erfüllen die angegebenen Relationen.

Transitive Operation auf 6 Elementen

Die Gruppe A_5 hat 24 Elemente der Ordnung 5, von denen jeweils 4 zusammen mit dem neutralen Element eine Untergruppe der Ordnung 5 bilden, es gibt daher sechs Untergruppen der Ordnung 5, die gleichzeitig die 5-Sylowgruppen sind. Da die Gruppe mittels Konjugation transitiv auf den sechs 5-Sylowgruppen operiert, denn je zwei 5-Sylowgruppen sind konjugiert, erhalten wir insgesamt, dass A_5 transitiv auf einer sechselementigen Menge operiert. Diese Operation ist sogar treu. Hiervon gilt folgende Umkehrung:

Jede 60-elementige transitive Permutationsgruppe auf 6 Elementen ist isomorph zu .

A₅ ist nicht auflösbar

Zu einer beliebigen Gruppe ist die Kommutatorgruppe $K^{1}(G)$ definiert als die von allen Kommutatoren $[x,y]:=x^{-1}y^{-1}xy$ erzeugte Untergruppe. Induktiv erklärt man $K^{n+1}(G):=K^{1}(K^{n}(G))$ und nennt die Gruppe auflösbar, wenn es ein gibt mit $K^{n}(G)=\{e\}$ .

Die Gruppe A_5 ist nicht auflösbar. Ist nämlich $(i\,j\,k)$ ein Dreierzykel, so seien $l,m$ die beiden nicht darin vertretenen Zahlen aus $\{1,2,3,4,5\}$ . Dann rechnet man

$(i\,j\,k)=(i\,k\,j)\cdot (i\,k\,j)=(i\,k)\cdot (k\,j)\cdot (i\,k)\cdot (k\,j)$

$=(i\,k)\cdot (l\,m)\cdot (k\,j)\cdot (l\,m)\cdot (l\,m)\cdot (i\,k)\cdot (l\,m)\cdot (k\,j)$

$=[(i\,k)\cdot (l\,m),(k\,j)\cdot (l\,m)]$ ,

das heißt, jeder Dreierzykel ist ein Kommutator und daher aus $K^{1}(A_{5})$ . Da die Dreierzykel nach obigem die Gruppe A_5 erzeugen, folgt $K^{1}(A_{5})=A_{5}$ und damit $K^{n}(A_{5})=A_{5}$ für alle . Daher ist A_5 nicht auflösbar.

A_5 ist die kleinste nicht auflösbare Gruppe. Bekanntlich ist jede p-Gruppe, das heißt Gruppe der Ordnung $p^{n}$ für eine Primzahl , auflösbar. Ferner sind Gruppen der Ordnung $p^{n}q^{m}$ mit Primzahlen und nach dem Satz von Burnside auflösbar. Schließlich sind Gruppen der Ordnung $pqr$ mit Primzahlen p,q und auflösbar. Die kleinste Ordnung, die für eine nicht-auflösbare Gruppe überhaupt in Frage kommt, ist damit $2^{2}\cdot 3\cdot 5=60$ . A_5 ist daher eine nicht-auflösbare Gruppe kleinstmöglicher Ordnung, man kann sogar zeigen dass sie bis auf Isomorphie die einzige nicht-auflösbare Gruppe der Ordnung 60 ist.

Aus der Nicht-Auflösbarkeit von A_5 ergibt sich leicht, dass alle $S_{n}$ und alle $A_{n}$ mit $n\geq 5$ nicht auflösbar sind, denn Untergruppen auflösbarer Gruppen sind wieder auflösbar und all diese Gruppen enthalten eine zu A_5 isomorphe Untergruppe.

A₅ ist einfach

Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie neben den trivialen Normalteilern und $\{e\}$ keine weiteren Normalteiler enthält. Da Kommutatorgruppen Normalteiler sind, haben auflösbare Gruppen, die nicht zyklisch von Primzahlordnung sind, stets Normalteiler, aber auch nicht-auflösbare Gruppen können Normalteiler haben, wie das Beispiel $S_{5}$ zeigt, die A_5 als Normalteiler hat. Daher ist folgende Aussage eine Verschärfung der Nicht-Auflösbarkeit:

ist einfach.

Das ergibt sich leicht aus der Tatsache, dass A_5 eine nicht-auflösbare Gruppe kleinstmöglicher Ordnung ist. Wäre nämlich $N\subset A_{5}$ ein nicht-trivialer Normalteiler, so hätten und $A_{5}/N$ eine echt kleinere Ordnung und wären daher auflösbar. Aus den bekannten Sätzen über auflösbare Gruppen folgte daraus die Auflösbarkeit von A_5 , was den gewünschten Widerspruch ergibt.

Das gerade gegebene Argument für die Einfachheit der A_5 ist durchaus nicht-trivial, denn es verwendet den Satz von Burnside, der in der Minimalität von 60 für die Ordnung einer nicht-auflösbaren Gruppe steckt. Allerdings benötigt man den Satz von Burnside nicht in voller Stärke, die ohne Darstellungstheorie zu beweisende Auflösbarkeit von Gruppen der Ordnung $p^{a}p^{b}$ mit $a,b\leq 2$ ist ausreichend.

In einem einfacheren Beweis zeigt man zunächst, dass alle Dreierzykel konjugiert sind und anschließend, dass jeder von der einelementigen Untergruppe verschiedene Normalteiler mindestens einen Dreierzykel enthalten muss. Der Normalteiler enthält dann alle Konjugierten dieses Dreierzykels, denn Normalteiler sind ja definitionsgemäß unter Konjugation stabil, und daher alle Dreierzykel. Da diese aber bereits A_5 erzeugen, folgt $N=A_{5}$ , das heißt es gibt keine nicht-trivialen Normalteiler in A_5 . Dieser Beweis gilt für alle $A_{n},\,n\geq 5$ .

Ein weiterer einfacherer und auf die A_5 zugeschnittener Beweis unter Verwendung der Sylow-Sätze findet sich im unten angegebenen Lehrbuch von B. Huppert.^[1] Darüber hinaus wird dort gezeigt:

Ist eine einfache Gruppe der Ordnung 60, so ist $G\cong A_{5}$ .

Charaktertafel

Die Charaktertafel der A_5 sieht wie folgt aus:


	$(1,2)\,(3,4)$		$(1,2,3,4,5)$	$(1,3,5,2,4)$
$\chi _{1}$
$\chi_2$	$0$
$\chi_3$			$0$	$0$
$\chi _{4}$		$0$	$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$	$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
$\chi _{5}$		$0$	$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$	$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Vorkommen

Symmetriegruppe

Dodekaeder

Die A_5 tritt als Rotationsgruppe des Ikosaeders auf, daher nennt man sie auch die Ikosaedergruppe. Um einen Überblick über die möglichen Rotationen, die den Ikosaeder in sich überführen, zu erhalten, betrachten wir, wie sie sich auf die Kanten auswirken. Die 30 Kanten des Ikosaeders zerfallen in 5 Klassen paralleler Kanten, wobei jede dieser Klasse 6 parallele Kanten enthält. Da Rotationen des Ikosaeders Parallelität von Kanten erhalten müssen, permutieren sie diese 5 Klassen und man erhält einen Homomorphismus von der Ikosaedergruppe in die $S_{5}$ . Eine genauere Betrachtung zeigt dann, dass es sich um einen injektiven Homomorphismus handelt, dessen Bild gerade $A_{5}\subset S_{5}$ ist. Daher ist die Ikosaedergruppe isomorph zur A_5 .

Die Elemente der A_5 entsprechen damit folgenden Drehungen:

Die 30 Kanten bestimmen 15 Rotationsachsen durch die Mittelpunkte von Paaren gegenüberliegender Kanten, und um jede Achse ist eine Rotation um $180^{\circ }$ möglich. Das sind die 15 Elemente der Ordnung 2.

Die 20 Seitenflächen bestimmen 10 Rotationsachsen durch die Mittelpunkte von Paaren gegenüberliegender Seitenflächen, und um jede dieser Achsen ist eine Rotation um $120^{\circ }$ oder $240^{\circ }$ möglich, das sind die 20 Elemente der Ordnung 3.

Die 12 Ecken bestimmen 6 Rotationsachsen durch Paare gegenüberliegender Ecken, zu jeder Achse gibt es 4 Drehungen um $k\cdot 72^{\circ }$ , $k=1,2,3,4$ der Ordnung 5, das sind insgesamt die 24 Drehungen der Ordnung 5.

Galoisgruppe

Das Polynom

$p(X)=X^{5}+20X+5$

hat eine zur A_5 isomorphe Galoisgruppe. Nach Sätzen der Galoistheorie bedeutet das wegen der oben festgestellten Nicht-Auflösbarkeit der Gruppe, dass die Nullstellen des Polynoms nicht durch Radikale der Koeffizienten dargestellt werden kann. Das belegt den Satz von Abel-Ruffini, nach dem es für Polynome ab dem Grad 5 keine allgemeinen Lösungsformeln gibt, die aus Wurzeln und arithmetischen Operationen der Koeffizienten bestehen.

PSL₂(4) und PSL₂(5)

Die projektiven linearen Gruppen $\mathrm {PSL} _{n}(q)$ für einen endlichen Körper mit Elementen sind mit Ausnahme von $\mathrm {PSL} _{2}(2)\cong S_{3}$ und $\mathrm {PSL} _{2}(3)\cong A_{4}$ einfach und haben $(q^{n}-1)\cdot (q^{n}-q)\cdot \ldots \cdot (q^{n}-q^{n-2})\cdot q^{n-1}/\mathrm {ggT} (n,q-1)$ Elemente. Demnach gilt