Triviale Gruppe
Die triviale Gruppe ist in der Gruppentheorie eine Gruppe, deren Trägermenge genau ein Element enthält. Die triviale Gruppe ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Jede Gruppe enthält die triviale Gruppe als Untergruppe.
Definition
Die triviale Gruppe ist eine Gruppe bestehend aus der einelementigen Menge versehen mit der einzig möglichen Gruppenoperation
- .
Das Element ist damit das neutrale Element der Gruppe.
Beispiele
Alle trivialen Gruppen sind zueinander isomorph. Beispiele für triviale Gruppen sind:
- die zyklische Gruppe vom Grad
- die alternierende Gruppe vom Grad
- die symmetrische Gruppe einer einelementigen Menge
Eigenschaften
- Da die Gruppenoperation kommutativ ist, ist die triviale Gruppe eine abelsche Gruppe.
- Die einzige Untergruppe der trivialen Gruppe ist die triviale Gruppe selbst.
- Die triviale Gruppe wird von der leeren Menge erzeugt: . Hierbei ergibt das leere Produkt nach üblicher Konvention das neutrale Element.
- Jede Gruppe enthält die triviale Gruppe und sich selbst als (triviale) Normalteiler. Die triviale Gruppe wird daher zumeist nicht als einfache Gruppe angesehen.
- In der Kategorie der Gruppen Grp fungiert die triviale Gruppe als Nullobjekt.
Siehe auch
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 26.12. 2018